Theorem qaddclt 6207

Description: Closure of addition of rationals.

Assertion

Ref	Expression
qaddclt	|- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A + B) e. QQ)

Proof of Theorem qaddclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rcla4eopr 3975	. . . . . . . . 9 |- ((((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN /\ (A + B) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w))) -> E.u e. ZZ E.v e. NN (A + B) = (u / v))
2		elq 6195	. . . . . . . . 9 |- ((A + B) e. QQ <-> E.u e. ZZ E.v e. NN (A + B) = (u / v))
3	1, 2	sylibr 200	. . . . . . . 8 |- ((((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN /\ (A + B) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w))) -> (A + B) e. QQ)
4		zaddclt 6112	. . . . . . . . . 10 |- (((x x. w) e. ZZ /\ (y x. z) e. ZZ) -> ((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ)
5		zmulclt 6127	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ w e. ZZ) -> (x x. w) e. ZZ)
6		nnzt 6100	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w e. ZZ)
7	5, 6	sylan2 451	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ w e. NN) -> (x x. w) e. ZZ)
8	7	ad2ant2rl 411	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (x x. w) e. ZZ)
9		zmulclt 6127	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. ZZ /\ z e. ZZ) -> (y x. z) e. ZZ)
10		nnzt 6100	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y e. ZZ)
11	9, 10	sylan 448	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ z e. ZZ) -> (y x. z) e. ZZ)
12	11	ad2ant2lr 410	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y x. z) e. ZZ)
13	4, 8, 12	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ)
14	13	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> ((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ)
15		nnmulclt 5889	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y x. w) e. NN)
16	15	ad2ant2l 408	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y x. w) e. NN)
17	16	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (y x. w) e. NN)
18		opreq12 3955	. . . . . . . . 9 |- ((A = (x / y) /\ B = (z / w)) -> (A + B) = ((x / y) + (z / w)))
19		divadddivt 5740	. . . . . . . . . 10 |- ((((x e. CC /\ y e. CC) /\ (z e. CC /\ w e. CC)) /\ (y =/= 0 /\ w =/= 0)) -> ((x / y) + (z / w)) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w)))
20		zcnt 6087	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
21		nncnt 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y e. CC)
22	20, 21	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (x e. CC /\ y e. CC))
23		zcnt 6087	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. ZZ -> z e. CC)
24		nncnt 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w e. CC)
25	23, 24	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (z e. CC /\ w e. CC))
26	22, 25	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x e. CC /\ y e. CC) /\ (z e. CC /\ w e. CC)))
27		nnne0t 5897	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y =/= 0)
28	27	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> y =/= 0)
29		nnne0t 5897	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w =/= 0)
30	29	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> w =/= 0)
31	28, 30	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y =/= 0 /\ w =/= 0))
32	19, 26, 31	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x / y) + (z / w)) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w)))
33	18, 32	sylan9eqr 1521	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A + B) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w)))
34	3, 14, 17, 33	syl3anc 856	. . . . . . 7 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A + B) e. QQ)
35	34	an4s 507	. . . . . 6 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ A = (x / y)) /\ ((z e. ZZ /\ w e. NN) /\ B = (z / w))) -> (A + B) e. QQ)
36	35	exp43 384	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A + B) e. QQ))))
37	36	r19.23aivv 1740	. . . 4 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A + B) e. QQ)))
38	37	r19.23advv 1741	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> (E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w) -> (A + B) e. QQ))
39	38	imp 350	. 2 |- ((E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) /\ E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w)) -> (A + B) e. QQ)
40		elq 6195	. 2 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
41		elq 6195	. 2 |- (B e. QQ <-> E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w))
42	39, 40, 41	syl2anb 455	1 |- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A + B) e. QQ)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  E.wrex 1638  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268  ZZcz 5270  QQcq 5271

This theorem is referenced by:  qsubclt 6210  qrevaddclt 6213

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-q 6194

Copyright terms: Public domain