Theorem pythi 8510

Description: The Pythagorean theorem for an arbitrary complex inner product (pre-Hilbert) space U. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e. whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135.

Hypotheses

Ref	Expression
pyth.1	|- X = (Base` U)
pyth.2	|- G = (+v` U)
pyth.6	|- N = (norm` U)
pyth.7	|- P = (.i` U)
pythi.u	|- U e. CPreHil
pythi.a	|- A e. X
pythi.b	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
pythi	|- ((APB) = 0 -> ((N` (AGB))^2) = (((N` A)^2) + ((N` B)^2)))

Proof of Theorem pythi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 59	. . . . . . 7 |- ((APB) = 0 -> (APB) = 0)
2		pythi.u	. . . . . . . . . 10 |- U e. CPreHil
3	2	phnvi 8475	. . . . . . . . 9 |- U e. NrmCVec
4		pythi.a	. . . . . . . . 9 |- A e. X
5		pythi.b	. . . . . . . . 9 |- B e. X
6		pyth.1	. . . . . . . . . 10 |- X = (Base` U)
7		pyth.7	. . . . . . . . . 10 |- P = (.i` U)
8	6, 7	iporthcom 8369	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((APB) = 0 <-> (BPA) = 0))
9	3, 4, 5, 8	mp3an 916	. . . . . . . 8 |- ((APB) = 0 <-> (BPA) = 0)
10	9	biimp 151	. . . . . . 7 |- ((APB) = 0 -> (BPA) = 0)
11	1, 10	opreq12d 3978	. . . . . 6 |- ((APB) = 0 -> ((APB) + (BPA)) = (0 + 0))
12		0cn 5328	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
13	12	addid1 5330	. . . . . 6 |- (0 + 0) = 0
14	11, 13	syl6eq 1523	. . . . 5 |- ((APB) = 0 -> ((APB) + (BPA)) = 0)
15	14	opreq2d 3976	. . . 4 |- ((APB) = 0 -> (((APA) + (BPB)) + ((APB) + (BPA))) = (((APA) + (BPB)) + 0))
16	6, 7	ipcl 8365	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A e. X) -> (APA) e. CC)
17	3, 4, 4, 16	mp3an 916	. . . . . 6 |- (APA) e. CC
18	6, 7	ipcl 8365	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X /\ B e. X) -> (BPB) e. CC)
19	3, 5, 5, 18	mp3an 916	. . . . . 6 |- (BPB) e. CC
20	17, 19	addcl 5320	. . . . 5 |- ((APA) + (BPB)) e. CC
21	20	addid1 5330	. . . 4 |- (((APA) + (BPB)) + 0) = ((APA) + (BPB))
22	15, 21	syl6eq 1523	. . 3 |- ((APB) = 0 -> (((APA) + (BPB)) + ((APB) + (BPA))) = ((APA) + (BPB)))
23		pyth.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
24	6, 23, 7, 2, 4, 5, 4, 5	ip2dii 8504	. . 3 |- ((AGB)P(AGB)) = (((APA) + (BPB)) + ((APB) + (BPA)))
25	22, 24	syl5eq 1519	. 2 |- ((APB) = 0 -> ((AGB)P(AGB)) = ((APA) + (BPB)))
26	6, 23	nvgcl 8239	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)
27	3, 4, 5, 26	mp3an 916	. . 3 |- (AGB) e. X
28		pyth.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
29	6, 28, 7	ipid 8363	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (AGB) e. X) -> ((AGB)P(AGB)) = ((N` (AGB))^2))
30	3, 27, 29	mp2an 697	. 2 |- ((AGB)P(AGB)) = ((N` (AGB))^2)
31	6, 28, 7	ipid 8363	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (APA) = ((N` A)^2))
32	3, 4, 31	mp2an 697	. . 3 |- (APA) = ((N` A)^2)
33	6, 28, 7	ipid 8363	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (BPB) = ((N` B)^2))
34	3, 5, 33	mp2an 697	. . 3 |- (BPB) = ((N` B)^2)
35	32, 34	opreq12i 3973	. 2 |- ((APA) + (BPB)) = (((N` A)^2) + ((N` B)^2))
36	25, 30, 35	3eqtr3g 1530	1 |- ((APB) = 0 -> ((N` (AGB))^2) = (((N` A)^2) + ((N` B)^2)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   + caddc 5237  2c2 5961  ^cexp 6568  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  normcnm 8209  .icip 8349  CPreHilcphl 8471

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-sum 6980  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-ip 8350  df-ph 8472

Copyright terms: Public domain