Theorem pwen 4489

Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87.

Hypothesis

Ref	Expression
pwen.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
pwen	|- (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)

Proof of Theorem pwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4360	. . 3 |- Rel ~~
2	1	brrelexi 3203	. 2 |- (A ~~ B -> A e. V)
3		breq1 2617	. . . 4 |- (x = A -> (x ~~ B <-> A ~~ B))
4		pweq 2399	. . . . 5 |- (x = A -> P~x = P~A)
5	4	breq1d 2624	. . . 4 |- (x = A -> (P~x ~~ P~B <-> P~A ~~ P~B))
6	3, 5	imbi12d 625	. . 3 |- (x = A -> ((x ~~ B -> P~x ~~ P~B) <-> (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)))
7		2on 4129	. . . . . 6 |- 2o e. On
8		enrefg 4377	. . . . . 6 |- (2o e. On -> 2o ~~ 2o)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . 5 |- 2o ~~ 2o
10	7	elisseti 1814	. . . . . 6 |- 2o e. V
11		visset 1809	. . . . . 6 |- x e. V
12		pwen.1	. . . . . 6 |- B e. V
13	10, 10, 11, 12	mapen 4477	. . . . 5 |- ((2o ~~ 2o /\ x ~~ B) -> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B))
14	9, 13	mpan 694	. . . 4 |- (x ~~ B -> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B))
15		oprex 3974	. . . . . 6 |- (2o ^m x) e. V
16	11	pw2en 4432	. . . . . 6 |- P~x ~~ (2o ^m x)
17		enen1 4463	. . . . . 6 |- (((2o ^m x) e. V /\ P~x ~~ (2o ^m x)) -> (P~x ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ P~B))
18	15, 16, 17	mp2an 696	. . . . 5 |- (P~x ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ P~B)
19		oprex 3974	. . . . . 6 |- (2o ^m B) e. V
20	12	pw2en 4432	. . . . . 6 |- P~B ~~ (2o ^m B)
21		enen2 4464	. . . . . 6 |- (((2o ^m B) e. V /\ P~B ~~ (2o ^m B)) -> ((2o ^m x) ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B)))
22	19, 20, 21	mp2an 696	. . . . 5 |- ((2o ^m x) ~~ P~B <-> (2o ^m x) ~~ (2o ^m B))
23	18, 22	bitr2 174	. . . 4 |- ((2o ^m x) ~~ (2o ^m B) <-> P~x ~~ P~B)
24	14, 23	sylib 198	. . 3 |- (x ~~ B -> P~x ~~ P~B)
25	6, 24	vtoclg 1843	. 2 |- (A e. V -> (A ~~ B -> P~A ~~ P~B))
26	2, 25	mpcom 49	1 |- (A ~~ B -> P~A ~~ P~B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  P~cpw 2397   class class class wbr 2614  Oncon0 2943  (class class class)co 3954  2oc2o 4119   ^m cm 4312   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  pwfi 4551

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-2o 4124  df-er 4251  df-map 4314  df-en 4357

Copyright terms: Public domain