Theorem psslinpr 5115

Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
psslinpr	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A (. B \/ A = B \/ B (. A))

Proof of Theorem psslinpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prub 5078	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ x e. Q.) -> (-. x e. B -> y <Q x))
2		elprpq 5075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> x e. Q.)
3	1, 2	sylan2 451	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ (A e. P. /\ x e. A)) -> (-. x e. B -> y <Q x))
4		prcdpq 5077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> (y <Q x -> y e. A))
5	4	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ (A e. P. /\ x e. A)) -> (y <Q x -> y e. A))
6	3, 5	syld 27	. . . . . . . . . . 11 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ (A e. P. /\ x e. A)) -> (-. x e. B -> y e. A))
7	6	exp43 384	. . . . . . . . . 10 |- (B e. P. -> (y e. B -> (A e. P. -> (x e. A -> (-. x e. B -> y e. A)))))
8	7	com3r 35	. . . . . . . . 9 |- (A e. P. -> (B e. P. -> (y e. B -> (x e. A -> (-. x e. B -> y e. A)))))
9	8	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> (x e. A -> (-. x e. B -> y e. A))))
10	9	imp4a 364	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> y e. A)))
11	10	com23 32	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> (y e. B -> y e. A)))
12	11	19.21adv 1286	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> A.y(y e. B -> y e. A)))
13	12	19.23adv 1212	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.x(x e. A /\ -. x e. B) -> A.y(y e. B -> y e. A)))
14		sspss 2141	. . . . . 6 |- (A (_ B <-> (A (. B \/ A = B))
15	14	negbii 187	. . . . 5 |- (-. A (_ B <-> -. (A (. B \/ A = B))
16		nss 2109	. . . . 5 |- (-. A (_ B <-> E.x(x e. A /\ -. x e. B))
17	15, 16	bitr3 175	. . . 4 |- (-. (A (. B \/ A = B) <-> E.x(x e. A /\ -. x e. B))
18		sspss 2141	. . . . 5 |- (B (_ A <-> (B (. A \/ B = A))
19		dfss2 2054	. . . . 5 |- (B (_ A <-> A.y(y e. B -> y e. A))
20	18, 19	bitr3 175	. . . 4 |- ((B (. A \/ B = A) <-> A.y(y e. B -> y e. A))
21	13, 17, 20	3imtr4g 552	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (-. (A (. B \/ A = B) -> (B (. A \/ B = A)))
22	21	orrd 233	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ B = A)))
23		df-3or 775	. . 3 |- ((A (. B \/ A = B \/ B (. A) <-> ((A (. B \/ A = B) \/ B (. A))
24		or23 263	. . 3 |- (((A (. B \/ A = B) \/ B (. A) <-> ((A (. B \/ B (. A) \/ A = B))
25		orordir 267	. . . 4 |- (((A (. B \/ B (. A) \/ A = B) <-> ((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ A = B)))
26		eqcom 1474	. . . . . 6 |- (B = A <-> A = B)
27	26	orbi2i 255	. . . . 5 |- ((B (. A \/ B = A) <-> (B (. A \/ A = B))
28	27	orbi2i 255	. . . 4 |- (((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ B = A)) <-> ((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ A = B)))
29	25, 28	bitr4 176	. . 3 |- (((A (. B \/ B (. A) \/ A = B) <-> ((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ B = A)))
30	23, 24, 29	3bitr 177	. 2 |- ((A (. B \/ A = B \/ B (. A) <-> ((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ B = A)))
31	22, 30	sylibr 200	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A (. B \/ A = B \/ B (. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 773  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978   (_ wss 2043   (. wpss 2044   class class class wbr 2614  Q.cnq 4959   <Q cltq 4964  P.cnp 4965

This theorem is referenced by:  ltsopr 5116

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-mi 4982  df-lti 4983  df-enq 5017  df-nq 5018  df-ltq 5022  df-np 5066

Copyright terms: Public domain