Theorem prub 5098

Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
prub	|- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C e. Q.) -> (-. C e. A -> B <Q C))

Proof of Theorem prub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (B = C -> (B e. A <-> C e. A))
2	1	biimpcd 155	. . . . . 6 |- (B e. A -> (B = C -> C e. A))
3	2	adantl 388	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> (B = C -> C e. A))
4		prcdpq 5097	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> (C <Q B -> C e. A))
5	3, 4	jaod 424	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> ((B = C \/ C <Q B) -> C e. A))
6	5	con3d 95	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> (-. C e. A -> -. (B = C \/ C <Q B)))
7	6	adantr 389	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C e. Q.) -> (-. C e. A -> -. (B = C \/ C <Q B)))
8		ltsopq 5075	. . . 4 |- <Q Or Q.
9		sotric 2860	. . . 4 |- (( <Q Or Q. /\ (B e. Q. /\ C e. Q.)) -> (B <Q C <-> -. (B = C \/ C <Q B)))
10	8, 9	mpan 695	. . 3 |- ((B e. Q. /\ C e. Q.) -> (B <Q C <-> -. (B = C \/ C <Q B)))
11		elprpq 5095	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> B e. Q.)
12	10, 11	sylan 448	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C e. Q.) -> (B <Q C <-> -. (B = C \/ C <Q B)))
13	7, 12	sylibrd 204	1 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C e. Q.) -> (-. C e. A -> B <Q C))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619   Or wor 2839  Q.cnq 4979   <Q cltq 4984  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  genpnnp 5108  psslinpr 5135  ltexprlem6 5147  ltexprlem7 5148  prlem936 5155  reclem4pr 5159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-mi 5002  df-lti 5003  df-enq 5037  df-nq 5038  df-ltq 5042  df-np 5086

Copyright terms: Public domain