Theorem projlem4 9105

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101, top. Used by projlem6 9107.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem4.1	|- R e. RR
projlem4.2	|- 0 <_ R
projlem4.3	|- D e. NN
projlem4.4	|- G e. NN
projlem4.5	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
projlem4	|- ((B <_ D /\ B <_ G) -> (((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B))

Proof of Theorem projlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem4.3	. . . . . 6 |- D e. NN
2	1	nnre 5879	. . . . 5 |- D e. RR
3	1	nnne0 5899	. . . . 5 |- D =/= 0
4	2, 3	rereccl 5757	. . . 4 |- (1 / D) e. RR
5		projlem4.4	. . . . . 6 |- G e. NN
6	5	nnre 5879	. . . . 5 |- G e. RR
7	5	nnne0 5899	. . . . 5 |- G =/= 0
8	6, 7	rereccl 5757	. . . 4 |- (1 / G) e. RR
9		projlem4.5	. . . . . 6 |- B e. NN
10	9	nnre 5879	. . . . 5 |- B e. RR
11	9	nnne0 5899	. . . . 5 |- B =/= 0
12	10, 11	rereccl 5757	. . . 4 |- (1 / B) e. RR
13	4, 8, 12, 12	le2add 5571	. . 3 |- (((1 / D) <_ (1 / B) /\ (1 / G) <_ (1 / B)) -> ((1 / D) + (1 / G)) <_ ((1 / B) + (1 / B)))
14	9	nngt0 5898	. . . 4 |- 0 < B
15	1	nngt0 5898	. . . 4 |- 0 < D
16	10, 2	lerec 5828	. . . 4 |- ((0 < B /\ 0 < D) -> (B <_ D <-> (1 / D) <_ (1 / B)))
17	14, 15, 16	mp2an 695	. . 3 |- (B <_ D <-> (1 / D) <_ (1 / B))
18	5	nngt0 5898	. . . 4 |- 0 < G
19	10, 6	lerec 5828	. . . 4 |- ((0 < B /\ 0 < G) -> (B <_ G <-> (1 / G) <_ (1 / B)))
20	14, 18, 19	mp2an 695	. . 3 |- (B <_ G <-> (1 / G) <_ (1 / B))
21	13, 17, 20	syl2anb 455	. 2 |- ((B <_ D /\ B <_ G) -> ((1 / D) + (1 / G)) <_ ((1 / B) + (1 / B)))
22		2cn 5927	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
23		2re 5926	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
24		projlem4.1	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. RR
25	23, 24	remulcl 5307	. . . . . . . . . . 11 |- (2 x. R) e. RR
26	25	recn 5286	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. R) e. CC
27		ax1cn 5241	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
28	22, 26, 27	adddi 5298	. . . . . . . . 9 |- (2 x. ((2 x. R) + 1)) = ((2 x. (2 x. R)) + (2 x. 1))
29	24	recn 5286	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. CC
30	22, 22, 29	mulass 5297	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. 2) x. R) = (2 x. (2 x. R))
31		2t2e4 5969	. . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. 2) = 4
32	31	opreq1i 3956	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. 2) x. R) = (4 x. R)
33	30, 32	eqtr3 1489	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. (2 x. R)) = (4 x. R)
34	22	mulid1 5304	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. 1) = 2
35	33, 34	opreq12i 3958	. . . . . . . . 9 |- ((2 x. (2 x. R)) + (2 x. 1)) = ((4 x. R) + 2)
36	28, 35	eqtr2 1488	. . . . . . . 8 |- ((4 x. R) + 2) = (2 x. ((2 x. R) + 1))
37	36, 34	opreq12i 3958	. . . . . . 7 |- (((4 x. R) + 2) x. (2 x. 1)) = ((2 x. ((2 x. R) + 1)) x. 2)
38		1re 5407	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
39	25, 38	readdcl 5306	. . . . . . . . 9 |- ((2 x. R) + 1) e. RR
40	39	recn 5286	. . . . . . . 8 |- ((2 x. R) + 1) e. CC
41	22, 22, 40	mul23 5396	. . . . . . 7 |- ((2 x. 2) x. ((2 x. R) + 1)) = ((2 x. ((2 x. R) + 1)) x. 2)
42	31	opreq1i 3956	. . . . . . 7 |- ((2 x. 2) x. ((2 x. R) + 1)) = (4 x. ((2 x. R) + 1))
43	37, 41, 42	3eqtr2r 1494	. . . . . 6 |- (4 x. ((2 x. R) + 1)) = (((4 x. R) + 2) x. (2 x. 1))
44	43	opreq1i 3956	. . . . 5 |- ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B) = ((((4 x. R) + 2) x. (2 x. 1)) / B)
45		4re 5929	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
46	45, 24	remulcl 5307	. . . . . . . 8 |- (4 x. R) e. RR
47	46, 23	readdcl 5306	. . . . . . 7 |- ((4 x. R) + 2) e. RR
48	47	recn 5286	. . . . . 6 |- ((4 x. R) + 2) e. CC
49	22, 27	mulcl 5293	. . . . . 6 |- (2 x. 1) e. CC
50	9	nncn 5880	. . . . . 6 |- B e. CC
51	48, 49, 50, 11	divass 5709	. . . . 5 |- ((((4 x. R) + 2) x. (2 x. 1)) / B) = (((4 x. R) + 2) x. ((2 x. 1) / B))
52	22, 27, 50, 11	divass 5709	. . . . . . 7 |- ((2 x. 1) / B) = (2 x. (1 / B))
53	12	recn 5286	. . . . . . . 8 |- (1 / B) e. CC
54	53	2times 5950	. . . . . . 7 |- (2 x. (1 / B)) = ((1 / B) + (1 / B))
55	52, 54	eqtr 1487	. . . . . 6 |- ((2 x. 1) / B) = ((1 / B) + (1 / B))
56	55	opreq2i 3957	. . . . 5 |- (((4 x. R) + 2) x. ((2 x. 1) / B)) = (((4 x. R) + 2) x. ((1 / B) + (1 / B)))
57	44, 51, 56	3eqtr 1491	. . . 4 |- ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B) = (((4 x. R) + 2) x. ((1 / B) + (1 / B)))
58	57	breq2i 2617	. . 3 |- ((((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B) <-> (((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ (((4 x. R) + 2) x. ((1 / B) + (1 / B))))
59		0re 5412	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
60		4pos 5939	. . . . . . 7 |- 0 < 4
61	59, 45, 60	ltlei 5554	. . . . . 6 |- 0 <_ 4
62		projlem4.2	. . . . . 6 |- 0 <_ R
63	45, 24	mulge0 5581	. . . . . 6 |- ((0 <_ 4 /\ 0 <_ R) -> 0 <_ (4 x. R))
64	61, 62, 63	mp2an 695	. . . . 5 |- 0 <_ (4 x. R)
65		2pos 5936	. . . . 5 |- 0 < 2
66	46, 23	addgegt0 5574	. . . . 5 |- ((0 <_ (4 x. R) /\ 0 < 2) -> 0 < ((4 x. R) + 2))
67	64, 65, 66	mp2an 695	. . . 4 |- 0 < ((4 x. R) + 2)
68	4, 8	readdcl 5306	. . . . 5 |- ((1 / D) + (1 / G)) e. RR
69	12, 12	readdcl 5306	. . . . 5 |- ((1 / B) + (1 / B)) e. RR
70	68, 69, 47	lemul2 5792	. . . 4 |- (0 < ((4 x. R) + 2) -> (((1 / D) + (1 / G)) <_ ((1 / B) + (1 / B)) <-> (((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ (((4 x. R) + 2) x. ((1 / B) + (1 / B)))))
71	67, 70	ax-mp 7	. . 3 |- (((1 / D) + (1 / G)) <_ ((1 / B) + (1 / B)) <-> (((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ (((4 x. R) + 2) x. ((1 / B) + (1 / B))))
72	58, 71	bitr4 176	. 2 |- ((((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B) <-> ((1 / D) + (1 / G)) <_ ((1 / B) + (1 / B)))
73	21, 72	sylibr 200	1 |- ((B <_ D /\ B <_ G) -> (((4 x. R) + 2) x. ((1 / D) + (1 / G))) <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NNcn 5268   < clt 5458  2c2 5908  4c4 5910

This theorem is referenced by:  projlem6 9107

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919

Copyright terms: Public domain