Theorem projlem24 9209

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. Here we show our vector sequence implies the real numbers sequence G corresponding to Beran's "{||yn-x0||}". Used by projlem25 9210 projlem26 9211.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem23.1	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (normh` ((F` x) -h A)))}
projlem24.2	|- A e. H~

Assertion

Ref	Expression
projlem24	|- (F:NN-->H~ -> G:NN-->CC)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,F,y

Proof of Theorem projlem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3814	. . . . . 6 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> (F` x) e. H~)
2		projlem24.2	. . . . . 6 |- A e. H~
3	1, 2	jctir 293	. . . . 5 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> ((F` x) e. H~ /\ A e. H~))
4		hvsubclt 8887	. . . . 5 |- (((F` x) e. H~ /\ A e. H~) -> ((F` x) -h A) e. H~)
5	3, 4	syl 10	. . . 4 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> ((F` x) -h A) e. H~)
6		normclt 8991	. . . 4 |- (((F` x) -h A) e. H~ -> (normh` ((F` x) -h A)) e. RR)
7		recnt 5313	. . . 4 |- ((normh` ((F` x) -h A)) e. RR -> (normh` ((F` x) -h A)) e. CC)
8	5, 6, 7	3syl 20	. . 3 |- ((F:NN-->H~ /\ x e. NN) -> (normh` ((F` x) -h A)) e. CC)
9	8	r19.21aiva 1714	. 2 |- (F:NN-->H~ -> A.x e. NN (normh` ((F` x) -h A)) e. CC)
10		projlem23.1	. . 3 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (normh` ((F` x) -h A)))}
11	10	fopab2 3823	. 2 |- (A.x e. NN (normh` ((F` x) -h A)) e. CC <-> G:NN-->CC)
12	9, 11	sylib 198	1 |- (F:NN-->H~ -> G:NN-->CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  NNcn 5296  H~chil 8788   -h cmv 8792  normhcno 8794

This theorem is referenced by:  projlem25 9210  projlem26 9211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840

Copyright terms: Public domain