Theorem projlem2 9126

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. We need the square root for the norm limit. Used by projlem28 9152.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem1.1	|- R e. RR
projlem1.2	|- D e. RR
projlem2.3	|- 0 <_ R

Assertion

Ref	Expression
projlem2	|- (0 < D -> E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D)

Distinct variable groups:   z,R   z,D

Proof of Theorem projlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem1.1	. . 3 |- R e. RR
2		projlem1.2	. . 3 |- D e. RR
3	1, 2	projlem1 9125	. 2 |- (0 < D -> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2))
4		lt2sqt 6569	. . . . . 6 |- ((((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR /\ 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))) /\ (D e. RR /\ 0 <_ D)) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
5		sqrclt 6648	. . . . . . . 8 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR)
6		redivclt 5764	. . . . . . . . . 10 |- (((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR /\ z =/= 0) -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
7	6	3expa 832	. . . . . . . . 9 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR) /\ z =/= 0) -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
8		nnret 5885	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> z e. RR)
9		4re 5937	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
10		2re 5934	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
11	10, 1	remulcl 5315	. . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. R) e. RR
12		1re 5415	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
13	11, 12	readdcl 5314	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. R) + 1) e. RR
14	9, 13	remulcl 5315	. . . . . . . . . 10 |- (4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR
15	8, 14	jctil 292	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR))
16		nnne0t 5905	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> z =/= 0)
17	7, 15, 16	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
18		0re 5420	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
19		4pos 5947	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 4
20		2pos 5944	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
21	18, 10, 20	ltlei 5562	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
22		projlem2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ R
23	10, 1	mulge0 5589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((0 <_ 2 /\ 0 <_ R) -> 0 <_ (2 x. R))
24	21, 22, 23	mp2an 696	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ (2 x. R)
25		lt01 5661	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
26	11, 12	addgegt0 5582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((0 <_ (2 x. R) /\ 0 < 1) -> 0 < ((2 x. R) + 1))
27	24, 25, 26	mp2an 696	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ((2 x. R) + 1)
28	9, 13, 19, 27	mulgt0i 5590	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < (4 x. ((2 x. R) + 1))
29	18, 14, 28	ltlei 5562	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ (4 x. ((2 x. R) + 1))
30		divge0t 5818	. . . . . . . . . 10 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ 0 <_ (4 x. ((2 x. R) + 1))) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
31	14, 29, 30	mpanl12 707	. . . . . . . . 9 |- ((z e. RR /\ 0 < z) -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
32		nngt0t 5902	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> 0 < z)
33	31, 8, 32	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
34	5, 17, 33	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR)
35		sqrge0t 6650	. . . . . . . 8 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)))
36	35, 17, 33	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)))
37	34, 36	jca 288	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR /\ 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))))
38	18, 2	ltle 5561	. . . . . . 7 |- (0 < D -> 0 <_ D)
39	38, 2	jctil 292	. . . . . 6 |- (0 < D -> (D e. RR /\ 0 <_ D))
40	4, 37, 39	syl2an 454	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ 0 < D) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
41	40	ancoms 436	. . . 4 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
42		sqsqrt 6661	. . . . . . 7 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) = ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
43	42, 17, 33	sylanc 471	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) = ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
44	43	breq1d 2624	. . . . 5 |- (z e. NN -> (((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
45	44	adantl 388	. . . 4 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> (((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
46	41, 45	bitrd 527	. . 3 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
47	46	rexbidva 1657	. 2 |- (0 < D -> (E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
48	3, 47	mpbird 196	1 |- (0 < D -> E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  E.wrex 1643   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466  2c2 5916  4c4 5918  ^cexp 6508  sqrcsqr 6607

This theorem is referenced by:  projlem28 9152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608

Copyright terms: Public domain