Theorem projlem18 9142

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101, top. Used by projlem19 9143.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	|- A e. H~
projlem11.2	|- H e. CH
projlem11.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
projlem11.4	|- R = -usup(S, RR, < )
projlem18.5	|- B e. H
projlem18.6	|- C e. H

Assertion

Ref	Expression
projlem18	|- (4 x. (R^2)) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2)

Distinct variable groups:   v,u,A   u,H,v

Proof of Theorem projlem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 5935	. . . 4 |- 2 e. CC
2		projlem11.1	. . . . . 6 |- A e. H~
3		projlem11.2	. . . . . 6 |- H e. CH
4		projlem11.3	. . . . . 6 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
5		projlem11.4	. . . . . 6 |- R = -usup(S, RR, < )
6	2, 3, 4, 5	projlem11 9135	. . . . 5 |- R e. RR
7	6	recn 5294	. . . 4 |- R e. CC
8	1, 7	sqmul 6555	. . 3 |- ((2 x. R)^2) = ((2^2) x. (R^2))
9		sq2 6577	. . . 4 |- (2^2) = 4
10	9	opreq1i 3962	. . 3 |- ((2^2) x. (R^2)) = (4 x. (R^2))
11	8, 10	eqtr2 1493	. 2 |- (4 x. (R^2)) = ((2 x. R)^2)
12		2ne0 5945	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
13	1, 12	reccl 5690	. . . . . . 7 |- (1 / 2) e. CC
14		projlem18.5	. . . . . . . 8 |- B e. H
15		projlem18.6	. . . . . . . 8 |- C e. H
16	3	chshi 9036	. . . . . . . . 9 |- H e. SH
17		shaddcltOLD 9025	. . . . . . . . 9 |- (H e. SH -> ((B e. H /\ C e. H) -> (B +h C) e. H))
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((B e. H /\ C e. H) -> (B +h C) e. H)
19	14, 15, 18	mp2an 696	. . . . . . 7 |- (B +h C) e. H
20		shmulcltOLD 9027	. . . . . . . 8 |- (H e. SH -> (((1 / 2) e. CC /\ (B +h C) e. H) -> ((1 / 2) .h (B +h C)) e. H))
21	16, 20	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (((1 / 2) e. CC /\ (B +h C) e. H) -> ((1 / 2) .h (B +h C)) e. H)
22	13, 19, 21	mp2an 696	. . . . . 6 |- ((1 / 2) .h (B +h C)) e. H
23	2, 3, 4, 5	projlem12 9136	. . . . . 6 |- (((1 / 2) .h (B +h C)) e. H -> R <_ (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . 5 |- R <_ (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))
25		2pos 5944	. . . . . 6 |- 0 < 2
26	3, 14	cheli 9042	. . . . . . . . . . 11 |- B e. H~
27	3, 15	cheli 9042	. . . . . . . . . . 11 |- C e. H~
28	26, 27	hvaddcl 8827	. . . . . . . . . 10 |- (B +h C) e. H~
29	13, 28	hvmulcl 8823	. . . . . . . . 9 |- ((1 / 2) .h (B +h C)) e. H~
30	29, 2	hvsubcl 8830	. . . . . . . 8 |- (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A) e. H~
31	30	normcl 8937	. . . . . . 7 |- (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)) e. RR
32		2re 5934	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
33	6, 31, 32	lemul2 5800	. . . . . 6 |- (0 < 2 -> (R <_ (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)) <-> (2 x. R) <_ (2 x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)))))
34	25, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- (R <_ (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)) <-> (2 x. R) <_ (2 x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))))
35	24, 34	mpbi 189	. . . 4 |- (2 x. R) <_ (2 x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)))
36	1, 30	norm-iii 8945	. . . . 5 |- (normh` (2 .h (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))) = ((abs` 2) x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)))
37	1, 29, 2	hvsubdistr1 8858	. . . . . . 7 |- (2 .h (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)) = ((2 .h ((1 / 2) .h (B +h C))) -h (2 .h A))
38	1, 12	recid 5704	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. (1 / 2)) = 1
39	38	opreq1i 3962	. . . . . . . . 9 |- ((2 x. (1 / 2)) .h (B +h C)) = (1 .h (B +h C))
40	1, 13, 28	hvmulass 8852	. . . . . . . . 9 |- ((2 x. (1 / 2)) .h (B +h C)) = (2 .h ((1 / 2) .h (B +h C)))
41		ax-hvmulid 8815	. . . . . . . . . 10 |- ((B +h C) e. H~ -> (1 .h (B +h C)) = (B +h C))
42	28, 41	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (1 .h (B +h C)) = (B +h C)
43	39, 40, 42	3eqtr3 1500	. . . . . . . 8 |- (2 .h ((1 / 2) .h (B +h C))) = (B +h C)
44	43	opreq1i 3962	. . . . . . 7 |- ((2 .h ((1 / 2) .h (B +h C))) -h (2 .h A)) = ((B +h C) -h (2 .h A))
45	37, 44	eqtr 1492	. . . . . 6 |- (2 .h (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)) = ((B +h C) -h (2 .h A))
46	45	fveq2i 3718	. . . . 5 |- (normh` (2 .h (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))) = (normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))
47		0re 5420	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
48	47, 32, 25	ltlei 5562	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
49	32	absid 6804	. . . . . . 7 |- (0 <_ 2 -> (abs` 2) = 2)
50	48, 49	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (abs` 2) = 2
51	50	opreq1i 3962	. . . . 5 |- ((abs` 2) x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))) = (2 x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)))
52	36, 46, 51	3eqtr3r 1501	. . . 4 |- (2 x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))) = (normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))
53	35, 52	breqtr 2633	. . 3 |- (2 x. R) <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))
54	2, 3, 4, 5	projlem13 9137	. . . . 5 |- 0 <_ R
55	32, 6	mulge0 5589	. . . . 5 |- ((0 <_ 2 /\ 0 <_ R) -> 0 <_ (2 x. R))
56	48, 54, 55	mp2an 696	. . . 4 |- 0 <_ (2 x. R)
57	1, 2	hvmulcl 8823	. . . . . 6 |- (2 .h A) e. H~
58	28, 57	hvsubcl 8830	. . . . 5 |- ((B +h C) -h (2 .h A)) e. H~
59		normge0t 8931	. . . . 5 |- (((B +h C) -h (2 .h A)) e. H~ -> 0 <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A))))
60	58, 59	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))
61	32, 6	remulcl 5315	. . . . 5 |- (2 x. R) e. RR
62	58	normcl 8937	. . . . 5 |- (normh` ((B +h C) -h (2 .h A))) e. RR
63	61, 62	le2sq 6564	. . . 4 |- ((0 <_ (2 x. R) /\ 0 <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))) -> ((2 x. R) <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A))) <-> ((2 x. R)^2) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2)))
64	56, 60, 63	mp2an 696	. . 3 |- ((2 x. R) <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A))) <-> ((2 x. R)^2) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2))
65	53, 64	mpbi 189	. 2 |- ((2 x. R)^2) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2)
66	11, 65	eqbrtr 2629	1 |- (4 x. (R^2)) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  {crab 1645   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  supcsup 4553  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   x. cmul 5219  -ucneg 5273   / cdiv 5274   <_ cle 5275   < clt 5466  2c2 5916  4c4 5918  ^cexp 6508  abscabs 6689  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729   -h cmv 8731  normhcno 8733  SHcsh 8736  CHcch 8737

This theorem is referenced by:  projlem19 9143

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hv0cl 8812  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-sh 9015  df-ch 9031

Copyright terms: Public domain