Theorem projlem15 9116

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100 (lemma for projection theorem). Used by projlem16 9117.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	|- A e. H~
projlem11.2	|- H e. CH
projlem11.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
projlem11.4	|- R = -usup(S, RR, < )
projlem15.5	|- C e. NN

Assertion

Ref	Expression
projlem15	|- E.z e. H (normh` (z -h A)) < (R + (1 / C))

Distinct variable groups:   v,u,z,A   u,H,v,z   z,S   z,R   v,C,u,z

Proof of Theorem projlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem11.1	. . . . . 6 |- A e. H~
2		projlem11.2	. . . . . 6 |- H e. CH
3		projlem11.3	. . . . . 6 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
4		projlem11.4	. . . . . 6 |- R = -usup(S, RR, < )
5	1, 2, 3, 4	projlem11 9112	. . . . 5 |- R e. RR
6		projlem15.5	. . . . . . 7 |- C e. NN
7	6	nnre 5879	. . . . . 6 |- C e. RR
8	6	nnne0 5899	. . . . . 6 |- C =/= 0
9	7, 8	rereccl 5757	. . . . 5 |- (1 / C) e. RR
10	5, 9	readdcl 5306	. . . 4 |- (R + (1 / C)) e. RR
11	10	renegcl 5388	. . 3 |- -u(R + (1 / C)) e. RR
12		nnrecgt0t 5900	. . . . . . 7 |- (C e. NN -> 0 < (1 / C))
13	6, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0 < (1 / C)
14	9, 5	ltaddpos 5637	. . . . . 6 |- (0 < (1 / C) <-> R < (R + (1 / C)))
15	13, 14	mpbi 189	. . . . 5 |- R < (R + (1 / C))
16	4, 15	eqbrtrr 2626	. . . 4 |- -usup(S, RR, < ) < (R + (1 / C))
17	1, 2, 3	projlem9 9110	. . . . 5 |- sup(S, RR, < ) e. RR
18	17, 10	ltnegcon1 5639	. . . 4 |- (-usup(S, RR, < ) < (R + (1 / C)) <-> -u(R + (1 / C)) < sup(S, RR, < ))
19	16, 18	mpbi 189	. . 3 |- -u(R + (1 / C)) < sup(S, RR, < )
20		ltso 5484	. . . 4 |- < Or RR
21	1, 2, 3	projlem8 9109	. . . . 5 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)
22	21	sup3i 6007	. . . 4 |- E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.w e. S y < w))
23	20, 22	suplubi 4560	. . 3 |- ((-u(R + (1 / C)) e. RR /\ -u(R + (1 / C)) < sup(S, RR, < )) -> E.w e. S -u(R + (1 / C)) < w)
24	11, 19, 23	mp2an 695	. 2 |- E.w e. S -u(R + (1 / C)) < w
25		breq2 2613	. . . . . . . . 9 |- (w = -u(normh` (z -h A)) -> (-u(R + (1 / C)) < w <-> -u(R + (1 / C)) < -u(normh` (z -h A))))
26	25	biimpd 153	. . . . . . . 8 |- (w = -u(normh` (z -h A)) -> (-u(R + (1 / C)) < w -> -u(R + (1 / C)) < -u(normh` (z -h A))))
27	2	chel 9023	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. H -> z e. H~)
28	27, 1	jctir 293	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. H -> (z e. H~ /\ A e. H~))
29		hvsubclt 8808	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. H~ /\ A e. H~) -> (z -h A) e. H~)
30	28, 29	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (z e. H -> (z -h A) e. H~)
31		normclt 8912	. . . . . . . . . 10 |- ((z -h A) e. H~ -> (normh` (z -h A)) e. RR)
32		ltnegt 5628	. . . . . . . . . . 11 |- (((normh` (z -h A)) e. RR /\ (R + (1 / C)) e. RR) -> ((normh` (z -h A)) < (R + (1 / C)) <-> -u(R + (1 / C)) < -u(normh` (z -h A))))
33	10, 32	mpan2 694	. . . . . . . . . 10 |- ((normh` (z -h A)) e. RR -> ((normh` (z -h A)) < (R + (1 / C)) <-> -u(R + (1 / C)) < -u(normh` (z -h A))))
34	30, 31, 33	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- (z e. H -> ((normh` (z -h A)) < (R + (1 / C)) <-> -u(R + (1 / C)) < -u(normh` (z -h A))))
35	34	biimprd 154	. . . . . . . 8 |- (z e. H -> (-u(R + (1 / C)) < -u(normh` (z -h A)) -> (normh` (z -h A)) < (R + (1 / C))))
36	26, 35	syl9 57	. . . . . . 7 |- (w = -u(normh` (z -h A)) -> (z e. H -> (-u(R + (1 / C)) < w -> (normh` (z -h A)) < (R + (1 / C)))))
37	36	com13 33	. . . . . 6 |- (-u(R + (1 / C)) < w -> (z e. H -> (w = -u(normh` (z -h A)) -> (normh` (z -h A)) < (R + (1 / C)))))
38	37	imp 350	. . . . 5 |- ((-u(R + (1 / C)) < w /\ z e. H) -> (w = -u(normh` (z -h A)) -> (normh` (z -h A)) < (R + (1 / C))))
39	38	r19.22dva 1731	. . . 4 |- (-u(R + (1 / C)) < w -> (E.z e. H w = -u(normh` (z -h A)) -> E.z e. H (normh` (z -h A)) < (R + (1 / C))))
40		eqeq1 1473	. . . . . . . 8 |- (u = w -> (u = -u(normh` (z -h A)) <-> w = -u(normh` (z -h A))))
41	40	rexbidv 1656	. . . . . . 7 |- (u = w -> (E.z e. H u = -u(normh` (z -h A)) <-> E.z e. H w = -u(normh` (z -h A))))
42		opreq1 3953	. . . . . . . . . . 11 |- (v = z -> (v -h A) = (z -h A))
43	42	fveq2d 3713	. . . . . . . . . 10 |- (v = z -> (normh` (v -h A)) = (normh` (z -h A)))
44	43	negeqd 5333	. . . . . . . . 9 |- (v = z -> -u(normh` (v -h A)) = -u(normh` (z -h A)))
45	44	eqeq2d 1478	. . . . . . . 8 |- (v = z -> (u = -u(normh` (v -h A)) <-> u = -u(normh` (z -h A))))
46	45	cbvrexv 1792	. . . . . . 7 |- (E.v e. H u = -u(normh` (v -h A)) <-> E.z e. H u = -u(normh` (z -h A)))
47	41, 46	syl5bb 530	. . . . . 6 |- (u = w -> (E.v e. H u = -u(normh` (v -h A)) <-> E.z e. H w = -u(normh` (z -h A))))
48	47, 3	elrab2 1898	. . . . 5 |- (w e. S <-> (w e. RR /\ E.z e. H w = -u(normh` (z -h A))))
49	48	pm3.27bi 326	. . . 4 |- (w e. S -> E.z e. H w = -u(normh` (z -h A)))
50	39, 49	syl5com 52	. . 3 |- (w e. S -> (-u(R + (1 / C)) < w -> E.z e. H (normh` (z -h A)) < (R + (1 / C))))
51	50	r19.23aiv 1735	. 2 |- (E.w e. S -u(R + (1 / C)) < w -> E.z e. H (normh` (z -h A)) < (R + (1 / C)))
52	24, 51	ax-mp 7	1 |- E.z e. H (normh` (z -h A)) < (R + (1 / C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  {crab 1640   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  supcsup 4547  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209  -ucneg 5265   / cdiv 5266  NNcn 5268   < clt 5458  H~chil 8727   -h cmv 8731  normhcno 8733  CHcch 8737

This theorem is referenced by:  projlem16 9117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hv0cl 8794  ax-hfvmul 8796  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-sh 8997  df-ch 9013

Copyright terms: Public domain