Theorem projlem14 9199

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100 (lemma for projection theorem). Used by projlem16 9201.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	|- A e. H~
projlem11.2	|- H e. CH
projlem11.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
projlem11.4	|- R = -usup(S, RR, < )
projlem14.5	|- C e. NN
projlem14.6	|- B e. H

Assertion

Ref	Expression
projlem14	|- (R - (1 / C)) < (normh` (B -h A))

Distinct variable groups:   v,u,A   u,H,v

Proof of Theorem projlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem14.5	. . . . 5 |- C e. NN
2		nnrecgt0t 5953	. . . . 5 |- (C e. NN -> 0 < (1 / C))
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 < (1 / C)
4	1	nnre 5931	. . . . . 6 |- C e. RR
5	1	nnne0 5951	. . . . . 6 |- C =/= 0
6	4, 5	rereccl 5801	. . . . 5 |- (1 / C) e. RR
7		projlem11.1	. . . . . 6 |- A e. H~
8		projlem11.2	. . . . . 6 |- H e. CH
9		projlem11.3	. . . . . 6 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
10		projlem11.4	. . . . . 6 |- R = -usup(S, RR, < )
11	7, 8, 9, 10	projlem11 9196	. . . . 5 |- R e. RR
12	6, 11	ltaddpos 5664	. . . 4 |- (0 < (1 / C) <-> R < (R + (1 / C)))
13	3, 12	mpbi 189	. . 3 |- R < (R + (1 / C))
14	11, 6, 11	ltsubadd 5594	. . 3 |- ((R - (1 / C)) < R <-> R < (R + (1 / C)))
15	13, 14	mpbir 190	. 2 |- (R - (1 / C)) < R
16		projlem14.6	. . 3 |- B e. H
17	7, 8, 9, 10	projlem12 9197	. . 3 |- (B e. H -> R <_ (normh` (B -h A)))
18	16, 17	ax-mp 7	. 2 |- R <_ (normh` (B -h A))
19	11, 6	resubcl 5439	. . 3 |- (R - (1 / C)) e. RR
20	8, 16	cheli 9103	. . . . 5 |- B e. H~
21	20, 7	hvsubcl 8891	. . . 4 |- (B -h A) e. H~
22	21	normcl 8998	. . 3 |- (normh` (B -h A)) e. RR
23	19, 11, 22	ltletr 5587	. 2 |- (((R - (1 / C)) < R /\ R <_ (normh` (B -h A))) -> (R - (1 / C)) < (normh` (B -h A)))
24	15, 18, 23	mp2an 697	1 |- (R - (1 / C)) < (normh` (B -h A))

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  {crab 1648   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   - cmin 5292  -ucneg 5293   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  H~chil 8788   -h cmv 8792  normhcno 8794  CHcch 8798

This theorem is referenced by:  projlem16 9201

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-sh 9076  df-ch 9092

Copyright terms: Public domain