Theorem projlem1 9102

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100: "Choose e > 0. Let n₀ be a natural number satisfying the inequality n₀ > 4(2i₀ + 1) x. e ^ -1." Used by projlem2 9103.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem1.1	|- R e. RR
projlem1.2	|- D e. RR

Assertion

Ref	Expression
projlem1	|- (0 < D -> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2))

Distinct variable groups:   z,R   z,D

Proof of Theorem projlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem1.2	. . 3 |- D e. RR
2	1	gt0ne0 5585	. 2 |- (0 < D -> D =/= 0)
3	1	sqgt0 6558	. 2 |- (D =/= 0 -> 0 < (D^2))
4	1	resqcl 6554	. . . . 5 |- (D^2) e. RR
5	4	gt0ne0 5585	. . . 4 |- (0 < (D^2) -> (D^2) =/= 0)
6		4re 5929	. . . . . 6 |- 4 e. RR
7		2re 5926	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
8		projlem1.1	. . . . . . . 8 |- R e. RR
9	7, 8	remulcl 5307	. . . . . . 7 |- (2 x. R) e. RR
10		1re 5407	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
11	9, 10	readdcl 5306	. . . . . 6 |- ((2 x. R) + 1) e. RR
12	6, 11	remulcl 5307	. . . . 5 |- (4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR
13	12, 4	redivclz 5755	. . . 4 |- ((D^2) =/= 0 -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) e. RR)
14		arch 6018	. . . 4 |- (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) e. RR -> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < z)
15	5, 13, 14	3syl 20	. . 3 |- (0 < (D^2) -> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < z)
16		nnret 5877	. . . . . 6 |- (z e. NN -> z e. RR)
17		breq2 2613	. . . . . . . . . 10 |- (z = if(z e. RR, z, 0) -> (0 < z <-> 0 < if(z e. RR, z, 0)))
18	17	anbi1d 615	. . . . . . . . 9 |- (z = if(z e. RR, z, 0) -> ((0 < z /\ 0 < (D^2)) <-> (0 < if(z e. RR, z, 0) /\ 0 < (D^2))))
19		opreq2 3954	. . . . . . . . . . 11 |- (z = if(z e. RR, z, 0) -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) = ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / if(z e. RR, z, 0)))
20	19	breq1d 2619	. . . . . . . . . 10 |- (z = if(z e. RR, z, 0) -> (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / if(z e. RR, z, 0)) < (D^2)))
21		breq2 2613	. . . . . . . . . 10 |- (z = if(z e. RR, z, 0) -> (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < z <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < if(z e. RR, z, 0)))
22	20, 21	bibi12d 627	. . . . . . . . 9 |- (z = if(z e. RR, z, 0) -> ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < z) <-> (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / if(z e. RR, z, 0)) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < if(z e. RR, z, 0))))
23	18, 22	imbi12d 624	. . . . . . . 8 |- (z = if(z e. RR, z, 0) -> (((0 < z /\ 0 < (D^2)) -> (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < z)) <-> ((0 < if(z e. RR, z, 0) /\ 0 < (D^2)) -> (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / if(z e. RR, z, 0)) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < if(z e. RR, z, 0)))))
24		0re 5412	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
25	24	elimel 2384	. . . . . . . . 9 |- if(z e. RR, z, 0) e. RR
26	12, 25, 4	ltdiv23 5842	. . . . . . . 8 |- ((0 < if(z e. RR, z, 0) /\ 0 < (D^2)) -> (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / if(z e. RR, z, 0)) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < if(z e. RR, z, 0)))
27	23, 26	dedth 2373	. . . . . . 7 |- (z e. RR -> ((0 < z /\ 0 < (D^2)) -> (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < z)))
28		nngt0t 5894	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> 0 < z)
29	27, 28	sylani 464	. . . . . 6 |- (z e. RR -> ((z e. NN /\ 0 < (D^2)) -> (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < z)))
30	16, 29	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> ((z e. NN /\ 0 < (D^2)) -> (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < z)))
31	30	anabsi8 497	. . . 4 |- ((0 < (D^2) /\ z e. NN) -> (((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < z))
32	31	rexbidva 1652	. . 3 |- (0 < (D^2) -> (E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2) <-> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / (D^2)) < z))
33	15, 32	mpbird 196	. 2 |- (0 < (D^2) -> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2))
34	2, 3, 33	3syl 20	1 |- (0 < D -> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  E.wrex 1638  ifcif 2351   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266  NNcn 5268   < clt 5458  2c2 5908  4c4 5910  ^cexp 6500

This theorem is referenced by:  projlem2 9103

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain