Theorem prnmadd 5072

Description: A positive real has no largest member. Addition version.

Hypothesis

Ref	Expression
prnmadd.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
prnmadd	|- ((A e. P. /\ B e. A) -> E.x(B +Q x) e. A)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem prnmadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 5071	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> E.y(y e. A /\ B <Q y))
2		visset 1804	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
3		ltrelpq 5023	. . . . . . . . . 10 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
4	2, 3	brel 3213	. . . . . . . . 9 |- (B <Q y -> (B e. Q. /\ y e. Q.))
5		prnmadd.1	. . . . . . . . . . 11 |- B e. V
6	5	ltexpq 5052	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. Q. /\ y e. Q.) -> (B <Q y <-> E.x(B +Q x) = y))
7	6	biimpcd 155	. . . . . . . . 9 |- (B <Q y -> ((B e. Q. /\ y e. Q.) -> E.x(B +Q x) = y))
8	4, 7	mpd 26	. . . . . . . 8 |- (B <Q y -> E.x(B +Q x) = y)
9		eqcom 1469	. . . . . . . . 9 |- (y = (B +Q x) <-> (B +Q x) = y)
10	9	exbii 1047	. . . . . . . 8 |- (E.x y = (B +Q x) <-> E.x(B +Q x) = y)
11	8, 10	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (B <Q y -> E.x y = (B +Q x))
12	11	anim1i 334	. . . . . 6 |- ((B <Q y /\ y e. A) -> (E.x y = (B +Q x) /\ y e. A))
13		19.41v 1300	. . . . . 6 |- (E.x(y = (B +Q x) /\ y e. A) <-> (E.x y = (B +Q x) /\ y e. A))
14	12, 13	sylibr 200	. . . . 5 |- ((B <Q y /\ y e. A) -> E.x(y = (B +Q x) /\ y e. A))
15	14	ancoms 436	. . . 4 |- ((y e. A /\ B <Q y) -> E.x(y = (B +Q x) /\ y e. A))
16	15	19.22i 1036	. . 3 |- (E.y(y e. A /\ B <Q y) -> E.yE.x(y = (B +Q x) /\ y e. A))
17		excomim 1041	. . 3 |- (E.yE.x(y = (B +Q x) /\ y e. A) -> E.xE.y(y = (B +Q x) /\ y e. A))
18	1, 16, 17	3syl 20	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> E.xE.y(y = (B +Q x) /\ y e. A))
19		df-clel 1465	. . 3 |- ((B +Q x) e. A <-> E.y(y = (B +Q x) /\ y e. A))
20	19	exbii 1047	. 2 |- (E.x(B +Q x) e. A <-> E.xE.y(y = (B +Q x) /\ y e. A))
21	18, 20	sylibr 200	1 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> E.x(B +Q x) e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  Q.cnq 4951   +Q cplq 4953   <Q cltq 4956  P.cnp 4957

This theorem is referenced by:  ltexprlem1 5114  ltexprlem7 5120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058

Copyright terms: Public domain