Theorem prlem934b 5110

Description: Sublemma for Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
prlem934b	|- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )))

Distinct variable group:   z,w,v,u

Proof of Theorem prlem934b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 4993	. . . . . . 7 |- ((u e. N. /\ z e. N.) -> (u .N z) e. N.)
2		nlt1pi 5005	. . . . . . . 8 |- -. (u .N z) <N 1o
3		1pi 4983	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. N.
4		ltsopi 4988	. . . . . . . . . . 11 |- <N Or N.
5		sotric 2851	. . . . . . . . . . 11 |- (( <N Or N. /\ ((u .N z) e. N. /\ 1o e. N.)) -> ((u .N z) <N 1o <-> -. ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z))))
6	4, 5	mpan 693	. . . . . . . . . 10 |- (((u .N z) e. N. /\ 1o e. N.) -> ((u .N z) <N 1o <-> -. ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z))))
7	3, 6	mpan2 694	. . . . . . . . 9 |- ((u .N z) e. N. -> ((u .N z) <N 1o <-> -. ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z))))
8	7	con2bid 524	. . . . . . . 8 |- ((u .N z) e. N. -> (((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)) <-> -. (u .N z) <N 1o))
9	2, 8	mpbiri 194	. . . . . . 7 |- ((u .N z) e. N. -> ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)))
10	1, 9	syl 10	. . . . . 6 |- ((u e. N. /\ z e. N.) -> ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)))
11	10	adantl 388	. . . . 5 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)))
12		enqeceq 5019	. . . . . . . . . . 11 |- ((((v .N z) e. N. /\ 1o e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
13	12	ancoms 436	. . . . . . . . . 10 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ ((v .N z) e. N. /\ 1o e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
14	3, 13	mpanr2 708	. . . . . . . . 9 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (v .N z) e. N.) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
15		mulclpi 4993	. . . . . . . . 9 |- ((v e. N. /\ z e. N.) -> (v .N z) e. N.)
16	14, 15	sylan2 451	. . . . . . . 8 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
17	16	anandis 511	. . . . . . 7 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
18		opreq1 3953	. . . . . . . 8 |- ((u .N z) = 1o -> ((u .N z) .N v) = (1o .N v))
19		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- v e. V
20		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- z e. V
21		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- u e. V
22		visset 1804	. . . . . . . . . 10 |- f e. V
23		visset 1804	. . . . . . . . . 10 |- g e. V
24	22, 23	mulcompi 4996	. . . . . . . . 9 |- (f .N g) = (g .N f)
25		visset 1804	. . . . . . . . . 10 |- h e. V
26	23, 25	mulasspi 4997	. . . . . . . . 9 |- ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h))
27	19, 20, 21, 24, 26	caopr31 4048	. . . . . . . 8 |- ((v .N z) .N u) = ((u .N z) .N v)
28	18, 27	syl5eq 1511	. . . . . . 7 |- ((u .N z) = 1o -> ((v .N z) .N u) = (1o .N v))
29	17, 28	syl5bir 210	. . . . . 6 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ((u .N z) = 1o -> [<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q ))
30	3	elisseti 1809	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. V
31		oprex 3968	. . . . . . . . . 10 |- (u .N z) e. V
32	30, 31	ltmpi 5003	. . . . . . . . 9 |- (v e. N. -> (1o <N (u .N z) <-> (v .N 1o) <N (v .N (u .N z))))
33		oprex 3968	. . . . . . . . . . 11 |- (v .N z) e. V
34	19, 21, 33, 30	ordpipq 5028	. . . . . . . . . 10 |- ([<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q <-> (v .N 1o) <N (u .N (v .N z)))
35	21, 19, 20, 24, 26	caopr12 4047	. . . . . . . . . . 11 |- (u .N (v .N z)) = (v .N (u .N z))
36	35	breq2i 2617	. . . . . . . . . 10 |- ((v .N 1o) <N (u .N (v .N z)) <-> (v .N 1o) <N (v .N (u .N z)))
37	34, 36	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- ([<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q <-> (v .N 1o) <N (v .N (u .N z)))
38	32, 37	syl6bbr 536	. . . . . . . 8 |- (v e. N. -> (1o <N (u .N z) <-> [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
39	38	biimpd 153	. . . . . . 7 |- (v e. N. -> (1o <N (u .N z) -> [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
40	39	adantr 389	. . . . . 6 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> (1o <N (u .N z) -> [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
41	29, 40	orim12d 563	. . . . 5 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> (((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )))
42	11, 41	mpd 26	. . . 4 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
43	42	an1s 485	. . 3 |- ((u e. N. /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
44	43	adantlr 393	. 2 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
45		an42 506	. . . . . . 7 |- (((w e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) <-> ((w e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)))
46		mulpipq 5027	. . . . . . . . 9 |- ((((w .N v) e. N. /\ 1o e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
47	3, 46	mpanl2 705	. . . . . . . 8 |- (((w .N v) e. N. /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
48		mulclpi 4993	. . . . . . . 8 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
49	47, 48	sylan 448	. . . . . . 7 |- (((w e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
50	45, 49	sylbi 199	. . . . . 6 |- (((w e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
51	50	anabsan 503	. . . . 5 |- ((w e. N. /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
52		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- w e. V
53	52, 33, 30	distrpqlem 5038	. . . . . . . 8 |- ((w e. N. /\ (v .N z) e. N. /\ 1o e. N.) -> [<.(w .N (v .N z)), (w .N 1o)>.] ~Q = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )
54	3, 53	mp3an3 902	. . . . . . 7 |- ((w e. N. /\ (v .N z) e. N.) -> [<.(w .N (v .N z)), (w .N 1o)>.] ~Q = [<.(v