Theorem primet 6142

Description: Two ways to express "A is a prime number (or 1)."

Assertion

Ref	Expression
primet	|- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem primet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nngt1ne1t 5892	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> (1 < x <-> x =/= 1))
2	1	adantl 388	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (1 < x <-> x =/= 1))
3	2	anbi1d 615	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (x =/= 1 /\ (A / x) e. NN)))
4		gtndivt 6140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR /\ A e. NN /\ A < x) -> -. (A / x) e. ZZ)
5	4	3expia 833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
6		nnret 5877	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> x e. RR)
7	5, 6	sylan 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (A < x -> -. (A / x) e. ZZ))
8	7	con2d 91	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> -. A < x))
9		lenltt 5482	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x <_ A <-> -. A < x))
10		nnret 5877	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. NN -> A e. RR)
11	9, 6, 10	syl2an 454	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> (x <_ A <-> -. A < x))
12	8, 11	sylibrd 204	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN /\ A e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
13	12	ancoms 436	. . . . . . . . 9 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. ZZ -> x <_ A))
14		nnzt 6100	. . . . . . . . 9 |- ((A / x) e. NN -> (A / x) e. ZZ)
15	13, 14	syl5 21	. . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN -> x <_ A))
16	15	pm4.71rd 637	. . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((A / x) e. NN <-> (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
17	16	anbi2d 614	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN))))
18		3anass 777	. . . . . 6 |- ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ (x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
19	17, 18	syl6bbr 536	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((1 < x /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
20	3, 19	bitr3d 528	. . . 4 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) <-> (1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN)))
21	20	imbi1d 611	. . 3 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
22		bi2.04 160	. . . 4 |- ((x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
23		impexp 347	. . . 4 |- (((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A) <-> (x =/= 1 -> ((A / x) e. NN -> x = A)))
24		neor 1630	. . . . 5 |- ((x = 1 \/ x = A) <-> (x =/= 1 -> x = A))
25	24	imbi2i 185	. . . 4 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((A / x) e. NN -> (x =/= 1 -> x = A)))
26	22, 23, 25	3bitr4r 184	. . 3 |- (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((x =/= 1 /\ (A / x) e. NN) -> x = A))
27	21, 26	syl5bb 530	. 2 |- ((A e. NN /\ x e. NN) -> (((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))
28	27	ralbidva 1651	1 |- (A e. NN -> (A.x e. NN ((A / x) e. NN -> (x = 1 \/ x = A)) <-> A.x e. NN ((1 < x /\ x <_ A /\ (A / x) e. NN) -> x = A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  1c1 5207   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NNcn 5268  ZZcz 5270   < clt 5458

This theorem is referenced by:  infpnlem1 7449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083

Copyright terms: Public domain