Theorem pre-axmulgt0 5270

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 24 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 5486.

Assertion

Ref	Expression
pre-axmulgt0	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))

Proof of Theorem pre-axmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5230	. 2 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2		elreal 5230	. 2 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3		breq2 2618	. . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> (0 <R <.x, 0R>. <-> 0 <R A))
4	3	anbi1d 616	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) <-> (0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.)))
5		opreq1 3959	. . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = (A x. <.y, 0R>.))
6	5	breq2d 2625	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> 0 <R (A x. <.y, 0R>.)))
7	4, 6	imbi12d 625	. 2 |- (<.x, 0R>. = A -> (((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.)) <-> ((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (A x. <.y, 0R>.))))
8		breq2 2618	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> (0 <R <.y, 0R>. <-> 0 <R B))
9	8	anbi2d 615	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> ((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) <-> (0 <R A /\ 0 <R B)))
10		opreq2 3960	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> (A x. <.y, 0R>.) = (A x. B))
11	10	breq2d 2625	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> (0 <R (A x. <.y, 0R>.) <-> 0 <R (A x. B)))
12	9, 11	imbi12d 625	. 2 |- (<.y, 0R>. = B -> (((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (A x. <.y, 0R>.)) <-> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B))))
13		df-0 5221	. . . . . 6 |- 0 = <.0R, 0R>.
14	13	a1i 8	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> 0 = <.0R, 0R>.)
15		visset 1809	. . . . . 6 |- y e. V
16	15	mulresr 5237	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = <.(x .R y), 0R>.)
17	14, 16	breq12d 2626	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> <.0R, 0R>. <R <.(x .R y), 0R>.))
18		0r 5169	. . . . . 6 |- 0R e. R.
19	18	elisseti 1814	. . . . 5 |- 0R e. V
20		oprex 3974	. . . . 5 |- (x .R y) e. V
21	19, 20	ltresr 5238	. . . 4 |- (<.0R, 0R>. <R <.(x .R y), 0R>. <-> 0R <R (x .R y))
22	17, 21	syl6bb 535	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> 0R <R (x .R y)))
23		visset 1809	. . . . 5 |- x e. V
24	23, 15	mulgt0sr 5194	. . . 4 |- ((0R <R x /\ 0R <R y) -> 0R <R (x .R y))
25	13	breq1i 2621	. . . . 5 |- (0 <R <.x, 0R>. <-> <.0R, 0R>. <R <.x, 0R>.)
26	19, 23	ltresr 5238	. . . . 5 |- (<.0R, 0R>. <R <.x, 0R>. <-> 0R <R x)
27	25, 26	bitr 173	. . . 4 |- (0 <R <.x, 0R>. <-> 0R <R x)
28	13	breq1i 2621	. . . . 5 |- (0 <R <.y, 0R>. <-> <.0R, 0R>. <R <.y, 0R>.)
29	19, 15	ltresr 5238	. . . . 5 |- (<.0R, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> 0R <R y)
30	28, 29	bitr 173	. . . 4 |- (0 <R <.y, 0R>. <-> 0R <R y)
31	24, 27, 30	syl2anb 455	. . 3 |- ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0R <R (x .R y))
32	22, 31	syl5bir 210	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.)))
33	1, 2, 7, 12, 32	2gencl 1825	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  <.cop 2407   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  R.cnr 4973  0Rc0r 4974   .R cmr 4978   <R cltr 4979  RRcr 5213  0cc0 5214   <R cltrr 5218   x. cmul 5219

This theorem is referenced by:  axmulgt0 5486

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-r 5224  df-mul 5226  df-lt 5227

Copyright terms: Public domain