Theorem prcdpq 5097

Description: A positive real is closed downwards under the positive fractions. Definition 9-3.1 (ii) of [Gleason] p. 121.

Assertion

Ref	Expression
prcdpq	|- ((A e. P. /\ B e. A) -> (C <Q B -> C e. A))

Proof of Theorem prcdpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> (x e. A <-> B e. A))
2	1	anbi2d 616	. . . . . . . 8 |- (x = B -> ((A e. P. /\ x e. A) <-> (A e. P. /\ B e. A)))
3		breq2 2623	. . . . . . . 8 |- (x = B -> (y <Q x <-> y <Q B))
4	2, 3	anbi12d 628	. . . . . . 7 |- (x = B -> (((A e. P. /\ x e. A) /\ y <Q x) <-> ((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B)))
5	4	imbi1d 613	. . . . . 6 |- (x = B -> ((((A e. P. /\ x e. A) /\ y <Q x) -> y e. A) <-> (((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B) -> y e. A)))
6		breq1 2622	. . . . . . . 8 |- (y = C -> (y <Q B <-> C <Q B))
7	6	anbi2d 616	. . . . . . 7 |- (y = C -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B) <-> ((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B)))
8		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (y = C -> (y e. A <-> C e. A))
9	7, 8	imbi12d 626	. . . . . 6 |- (y = C -> ((((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B) -> y e. A) <-> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A)))
10		elnp 5092	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. P. <-> (((/) (. A /\ A (. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
11	10	pm3.27bi 326	. . . . . . . . . 10 |- (A e. P. -> A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))
12	11	r19.21bi 1725	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))
13	12	pm3.26d 321	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> A.y(y <Q x -> y e. A))
14	13	19.21bi 1060	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> (y <Q x -> y e. A))
15	14	imp 350	. . . . . 6 |- (((A e. P. /\ x e. A) /\ y <Q x) -> y e. A)
16	5, 9, 15	vtocl2g 1850	. . . . 5 |- ((B e. A /\ C e. V) -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A))
17		ltrelpq 5051	. . . . . . 7 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
18		relxp 3255	. . . . . . 7 |- Rel (Q. X. Q.)
19		relss 3246	. . . . . . 7 |- ( <Q (_ (Q. X. Q.) -> (Rel (Q. X. Q.) -> Rel <Q ))
20	17, 18, 19	mp2 43	. . . . . 6 |- Rel <Q
21	20	brrelexi 3208	. . . . 5 |- (C <Q B -> C e. V)
22	16, 21	sylan2 451	. . . 4 |- ((B e. A /\ C <Q B) -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A))
23	22	adantll 392	. . 3 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A))
24	23	pm2.43i 64	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A)
25	24	ex 373	1 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> (C <Q B -> C e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047   (. wpss 2048  (/)c0 2280   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  Rel wrel 3175  Q.cnq 4979   <Q cltq 4984  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  prub 5098  addclprlem1 5118  mulclprlem 5121  distrlem4pr 5130  1idpr 5133  psslinpr 5135  prlem934 5139  ltaddpr 5140  ltexprlem2 5143  ltexprlem3 5144  ltexprlem6 5147  prlem936 5155  reclem2pr 5157  suplem1pr 5161

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-qs 4266  df-ni 5000  df-nq 5038  df-ltq 5042  df-np 5086

Copyright terms: Public domain