Theorem pjthlem14 9170

Description: Lemma for pjth 9171.

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem14.1	|- A e. H~
pjthlem14.2	|- H e. CH
pjthlem14.3	|- B e. H
pjthlem14.4	|- C = (A -h B)

Assertion

Ref	Expression
pjthlem14	|- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))

Distinct variable groups:   x,z,y,A   z,B,x,y   z,C,x,y   z,H,x,y

Proof of Theorem pjthlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3960	. . . . . . . 8 |- (x = if(x e. H, x, 0h) -> (C .ih x) = (C .ih if(x e. H, x, 0h)))
2	1	eqeq1d 1480	. . . . . . 7 |- (x = if(x e. H, x, 0h) -> ((C .ih x) = 0 <-> (C .ih if(x e. H, x, 0h)) = 0))
3	2	imbi2d 611	. . . . . 6 |- (x = if(x e. H, x, 0h) -> ((A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih x) = 0) <-> (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih if(x e. H, x, 0h)) = 0)))
4		pjthlem14.1	. . . . . . 7 |- A e. H~
5		pjthlem14.2	. . . . . . 7 |- H e. CH
6		pjthlem14.3	. . . . . . 7 |- B e. H
7		ch0 9037	. . . . . . . . 9 |- (H e. CH -> 0h e. H)
8	5, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- 0h e. H
9	8	elimel 2390	. . . . . . 7 |- if(x e. H, x, 0h) e. H
10		pjthlem14.4	. . . . . . 7 |- C = (A -h B)
11	4, 5, 6, 9, 10	pjthlem13 9169	. . . . . 6 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih if(x e. H, x, 0h)) = 0)
12	3, 11	dedth 2379	. . . . 5 |- (x e. H -> (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (C .ih x) = 0))
13	12	com12 11	. . . 4 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> (x e. H -> (C .ih x) = 0))
14	13	r19.21aiv 1710	. . 3 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> A.x e. H (C .ih x) = 0)
15	5	chshi 9036	. . . . 5 |- H e. SH
16		shocelt 9094	. . . . 5 |- (H e. SH -> (C e. (_|_` H) <-> (C e. H~ /\ A.x e. H (C .ih x) = 0)))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (C e. (_|_` H) <-> (C e. H~ /\ A.x e. H (C .ih x) = 0))
18	5, 6	cheli 9042	. . . . . 6 |- B e. H~
19	4, 18	hvsubcl 8830	. . . . 5 |- (A -h B) e. H~
20	10, 19	eqeltr 1541	. . . 4 |- C e. H~
21	17, 20	mpbiran 727	. . 3 |- (C e. (_|_` H) <-> A.x e. H (C .ih x) = 0)
22	14, 21	sylibr 200	. 2 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> C e. (_|_` H))
23	4, 18	hvsubval 8829	. . . . 5 |- (A -h B) = (A +h (-u1 .h B))
24	23	opreq2i 3963	. . . 4 |- (B +h (A -h B)) = (B +h (A +h (-u1 .h B)))
25	10	opreq2i 3963	. . . 4 |- (B +h C) = (B +h (A -h B))
26	18	hvnegid 8838	. . . . . 6 |- (B +h (-u1 .h B)) = 0h
27	26	opreq2i 3963	. . . . 5 |- (A +h (B +h (-u1 .h B))) = (A +h 0h)
28		ax1cn 5249	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
29	28	negcl 5349	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
30	29, 18	hvmulcl 8823	. . . . . 6 |- (-u1 .h B) e. H~
31	4, 18, 30	hvadd12 8863	. . . . 5 |- (A +h (B +h (-u1 .h B))) = (B +h (A +h (-u1 .h B)))
32		ax-hvaddid 8813	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> (A +h 0h) = A)
33	4, 32	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A +h 0h) = A
34	27, 31, 33	3eqtr3r 1501	. . . 4 |- A = (B +h (A +h (-u1 .h B)))
35	24, 25, 34	3eqtr4r 1503	. . 3 |- A = (B +h C)
36		rcla4eopr 3981	. . 3 |- ((B e. H /\ C e. (_|_` H) /\ A = (B +h C)) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))
37	6, 35, 36	mp3an13 905	. 2 |- (C e. (_|_` H) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))
38	22, 37	syl 10	1 |- (A.z e. H (normh` (B -h A)) <_ (normh` (z -h A)) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  ifcif 2357   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  0cc0 5214  1c1 5215  -ucneg 5273   <_ cle 5275  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  0hc0v 8730   -h cmv 8731   .ih csp 8732  normhcno 8733  SHcsh 8736  CHcch 8737  _|_cort 8738

This theorem is referenced by:  pjth 9171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-sh 9015  df-ch 9031  df-oc 9063

Copyright terms: Public domain