Theorem pjss2co 10003

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(ii) of [Beran] p. 112.

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	|- G e. CH
pjco.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjss2co	|- (G (_ H <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G))

Proof of Theorem pjss2co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.1	. . . . . . 7 |- G e. CH
2		pjco.2	. . . . . . 7 |- H e. CH
3	1, 2	pjco 9997	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` G)` ((proj` H)` x)))
4	3	adantl 388	. . . . 5 |- ((G (_ H /\ x e. H~) -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` G)` ((proj` H)` x)))
5		fveq2 3709	. . . . . . . . . 10 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> ((proj` H)` x) = ((proj` H)` if(x e. H~, x, 0h)))
6	5	fveq2d 3713	. . . . . . . . 9 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> ((proj` G)` ((proj` H)` x)) = ((proj` G)` ((proj` H)` if(x e. H~, x, 0h))))
7		fveq2 3709	. . . . . . . . 9 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> ((proj` G)` x) = ((proj` G)` if(x e. H~, x, 0h)))
8	6, 7	eqeq12d 1481	. . . . . . . 8 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> (((proj` G)` ((proj` H)` x)) = ((proj` G)` x) <-> ((proj` G)` ((proj` H)` if(x e. H~, x, 0h))) = ((proj` G)` if(x e. H~, x, 0h))))
9	8	imbi2d 610	. . . . . . 7 |- (x = if(x e. H~, x, 0h) -> ((G (_ H -> ((proj` G)` ((proj` H)` x)) = ((proj` G)` x)) <-> (G (_ H -> ((proj` G)` ((proj` H)` if(x e. H~, x, 0h))) = ((proj` G)` if(x e. H~, x, 0h)))))
10		ax-hv0cl 8794	. . . . . . . . 9 |- 0h e. H~
11	10	elimel 2384	. . . . . . . 8 |- if(x e. H~, x, 0h) e. H~
12	1, 11, 2	pjss2 9542	. . . . . . 7 |- (G (_ H -> ((proj` G)` ((proj` H)` if(x e. H~, x, 0h))) = ((proj` G)` if(x e. H~, x, 0h)))
13	9, 12	dedth 2373	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (G (_ H -> ((proj` G)` ((proj` H)` x)) = ((proj` G)` x)))
14	13	impcom 351	. . . . 5 |- ((G (_ H /\ x e. H~) -> ((proj` G)` ((proj` H)` x)) = ((proj` G)` x))
15	4, 14	eqtrd 1499	. . . 4 |- ((G (_ H /\ x e. H~) -> (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` G)` x))
16	15	r19.21aiva 1706	. . 3 |- (G (_ H -> A.x e. H~ (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` G)` x))
17	1	pjf 9566	. . . . 5 |- (proj` G):H~-->H~
18	2	pjf 9566	. . . . 5 |- (proj` H):H~-->H~
19	17, 18	hocof 9609	. . . 4 |- ((proj` G) o. (proj` H)):H~-->H~
20	19, 17	hoeq 9604	. . 3 |- (A.x e. H~ (((proj` G) o. (proj` H))` x) = ((proj` G)` x) <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G))
21	16, 20	sylib 198	. 2 |- (G (_ H -> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G))
22		fveq1 3708	. . . . . . . . . . . 12 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> (((proj` G) o. (proj` H))` y) = ((proj` G)` y))
23	22	opreq2d 3961	. . . . . . . . . . 11 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)) = (x .ih ((proj` G)` y)))
24	23	ad2antlr 405	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. H~ /\ ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G)) /\ y e. H~) -> (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)) = (x .ih ((proj` G)` y)))
25	2, 1	pjadjco 10000	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)))
26	25	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. H~ /\ ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G)) /\ y e. H~) -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (x .ih (((proj` G) o. (proj` H))` y)))
27	1	pjadjt 9547	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((proj` G)` x) .ih y) = (x .ih ((proj` G)` y)))
28	27	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. H~ /\ ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G)) /\ y e. H~) -> (((proj` G)` x) .ih y) = (x .ih ((proj` G)` y)))
29	24, 26, 28	3eqtr4d 1509	. . . . . . . . 9 |- (((x e. H~ /\ ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G)) /\ y e. H~) -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (((proj` G)` x) .ih y))
30	29	exp31 376	. . . . . . . 8 |- (x e. H~ -> (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> (y e. H~ -> ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (((proj` G)` x) .ih y))))
31	30	r19.21adv 1710	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> A.y e. H~ ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (((proj` G)` x) .ih y)))
32		hial2eqt 8893	. . . . . . . 8 |- (((((proj` H) o. (proj` G))` x) e. H~ /\ ((proj` G)` x) e. H~) -> (A.y e. H~ ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (((proj` G)` x) .ih y) <-> (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x)))
33	2, 1	pjcohcl 9999	. . . . . . . 8 |- (x e. H~ -> (((proj` H) o. (proj` G))` x) e. H~)
34	1	pjhcl 9167	. . . . . . . 8 |- (x e. H~ -> ((proj` G)` x) e. H~)
35	32, 33, 34	sylanc 471	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (A.y e. H~ ((((proj` H) o. (proj` G))` x) .ih y) = (((proj` G)` x) .ih y) <-> (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x)))
36	31, 35	sylibd 202	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x)))
37	36	com12 11	. . . . 5 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> (x e. H~ -> (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x)))
38	37	r19.21aiv 1705	. . . 4 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> A.x e. H~ (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x))
39	18, 17	hocof 9609	. . . . 5 |- ((proj` H) o. (proj` G)):H~-->H~
40	39, 17	hoeq 9604	. . . 4 |- (A.x e. H~ (((proj` H) o. (proj` G))` x) = ((proj` G)` x) <-> ((proj` H) o. (proj` G)) = (proj` G))
41	38, 40	sylib 198	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> ((proj` H) o. (proj` G)) = (proj` G))
42	1, 2	pjss1co 10002	. . 3 |- (G (_ H <-> ((proj` H) o. (proj` G)) = (proj` G))
43	41, 42	sylibr 200	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G) -> G (_ H)
44	21, 43	impbi 157	1 |- (G (_ H <-> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` G))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637   (_ wss 2037  ifcif 2351   o. ccom 3164  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727  0hc0v 8730   .ih csp 8732  CHcch 8737  projcpj 8745

This theorem is referenced by:  pjidmco 10016  pjin2 10031  pjin3 10032

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel