Theorem pjss2 9632

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)->(ii) of [Beran] p. 112.

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	|- H e. CH
pjidm.2	|- A e. H~
pjsslem.1	|- G e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjss2	|- (H (_ G -> ((proj` H)` ((proj` G)` A)) = ((proj` H)` A))

Proof of Theorem pjss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . . . 6 |- H e. CH
2		pjsslem.1	. . . . . 6 |- G e. CH
3	1, 2	chsscon3 9391	. . . . 5 |- (H (_ G <-> (_|_` G) (_ (_|_` H))
4	2	choccl 9192	. . . . . . 7 |- (_|_` G) e. CH
5		pjidm.2	. . . . . . 7 |- A e. H~
6	4, 5	pjcli 9260	. . . . . 6 |- ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` G)
7		ssel 2072	. . . . . 6 |- ((_|_` G) (_ (_|_` H) -> (((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` G) -> ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H)))
8	6, 7	mpi 44	. . . . 5 |- ((_|_` G) (_ (_|_` H) -> ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H))
9	3, 8	sylbi 199	. . . 4 |- (H (_ G -> ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H))
10	1	choccl 9192	. . . . 5 |- (_|_` H) e. CH
11	10, 5	pjcli 9260	. . . 4 |- ((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H)
12	9, 11	jctil 292	. . 3 |- (H (_ G -> (((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H) /\ ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H)))
13	10	chshi 9104	. . . 4 |- (_|_` H) e. SH
14		shsubcltOLD 9097	. . . 4 |- ((_|_` H) e. SH -> ((((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H) /\ ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H)) -> (((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H)))
15	13, 14	ax-mp 7	. . 3 |- ((((proj` (_|_` H))` A) e. (_|_` H) /\ ((proj` (_|_` G))` A) e. (_|_` H)) -> (((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H))
16	12, 15	syl 10	. 2 |- (H (_ G -> (((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H))
17	1, 5, 2	pjsslem 9631	. . . . . 6 |- (((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) = (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))
18	17	eleq1i 1544	. . . . 5 |- ((((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H) <-> (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. (_|_` H))
19	2, 5	pjhcli 9261	. . . . . . 7 |- ((proj` G)` A) e. H~
20	1, 5	pjhcli 9261	. . . . . . 7 |- ((proj` H)` A) e. H~
21	19, 20	hvsubcl 8898	. . . . . 6 |- (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. H~
22	1, 21	pjoc2 9278	. . . . 5 |- ((((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A)) e. (_|_` H) <-> ((proj` H)` (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))) = 0h)
23	18, 22	bitr 173	. . . 4 |- ((((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H) <-> ((proj` H)` (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))) = 0h)
24	1, 19, 20	pjsub 9630	. . . . 5 |- ((proj` H)` (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))) = (((proj` H)` ((proj` G)` A)) -h ((proj` H)` ((proj` H)` A)))
25	24	eqeq1i 1489	. . . 4 |- (((proj` H)` (((proj` G)` A) -h ((proj` H)` A))) = 0h <-> (((proj` H)` ((proj` G)` A)) -h ((proj` H)` ((proj` H)` A))) = 0h)
26	1, 19	pjhcli 9261	. . . . 5 |- ((proj` H)` ((proj` G)` A)) e. H~
27	1, 20	pjhcli 9261	. . . . 5 |- ((proj` H)` ((proj` H)` A)) e. H~
28	26, 27	hvsubeq0 8937	. . . 4 |- ((((proj` H)` ((proj` G)` A)) -h ((proj` H)` ((proj` H)` A))) = 0h <-> ((proj` H)` ((proj` G)` A)) = ((proj` H)` ((proj` H)` A)))
29	23, 25, 28	3bitr 177	. . 3 |- ((((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H) <-> ((proj` H)` ((proj` G)` A)) = ((proj` H)` ((proj` H)` A)))
30	1, 5	pjidm 9624	. . . 4 |- ((proj` H)` ((proj` H)` A)) = ((proj` H)` A)
31	30	eqeq2i 1492	. . 3 |- (((proj` H)` ((proj` G)` A)) = ((proj` H)` ((proj` H)` A)) <-> ((proj` H)` ((proj` G)` A)) = ((proj` H)` A))
32	29, 31	bitr2 174	. 2 |- (((proj` H)` ((proj` G)` A)) = ((proj` H)` A) <-> (((proj` (_|_` H))` A) -h ((proj` (_|_` G))` A)) e. (_|_` H))
33	16, 32	sylibr 200	1 |- (H (_ G -> ((proj` H)` ((proj` G)` A)) = ((proj` H)` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 960   e. wcel 962   (_ wss 2056  ` cfv 3196  (class class class)co 3977  H~chil 8795  0hc0v 8798   -h cmv 8799  SHcsh 8804  CHcch 8805  _|_cort 8806  projcpj 8813

This theorem is referenced by:  pjssm 9633  pjss2co 10099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-reg 4603  ax-inf2 4637  ax-ac 4756  ax-hilex 8876  ax-hfvadd 8877  ax-hvcom 8878  ax-hvass 8879  ax-hv0cl 8880  ax-hvaddid 8881  ax-hfvmul 8882  ax-hvmulid 8883  ax-hvmulass 8884  ax-hvdistr1 8885  ax-hvdistr2 8886  ax-hvmul0 8887  ax-hfi 8953  ax-his1 8956  ax-his2 8957  ax-his3 8958  ax-his4 8959  ax-hcompl 9078

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-iin 2581  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-map 4338  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-sup 4584  df-r1 4655  df-rank 4656  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-3 5977  df-4 5978  df-n0 6106  df-z 6142  df-fl 6233  df-q 6266  df-ioo 6310  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seq1 6491  df-shft 6524  df-seqz 6546  df-exp 6582  df-sqr 6684  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-abs 6768  df-clim 6989  df-sum 6994  df-top 7607  df-bases 7609  df-topgen 7610  df-cld 7672  df-ntr 7673  df-cls 7674  df-cn 7763  df-cnp 7764  df-haus 7791  df-met 7802  df-bl 7804  df-opn 7805  df-lm 7931  df-grp 8046  df-gid 8047  df-ginv 8048  df-gdiv 8049  df-abl 8108  df-vc 8173  df-nv 8219  df-va 8222  df-ba 8223  df-sm 8224  df-0v 8225  df-vs 8226  df-nm 8227  df-ims 8228  df-ip 8358  df-ph 8480  df-hnorm 8844  df-hvsub 8847  df-hlim 8848  df-hcau 8849  df-sh 9083  df-ch 9099  df-oc 9131  df-ch0 9132  df-pj 9244

Copyright terms: Public domain