Theorem pjoi0t 9657

Description: The inner product of projections on orthogonal subspaces vanishes.

Assertion

Ref	Expression
pjoi0t	|- (((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) /\ G (_ (_|_` H)) -> (((proj` G)` A) .ih ((proj` H)` A)) = 0)

Proof of Theorem pjoi0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjrnt 9647	. . . . . 6 |- (G e. CH -> ran (proj` G) = G)
2	1	adantr 391	. . . . 5 |- ((G e. CH /\ H e. CH) -> ran (proj` G) = G)
3		pjrnt 9647	. . . . . . 7 |- (H e. CH -> ran (proj` H) = H)
4	3	fveq2d 3734	. . . . . 6 |- (H e. CH -> (_|_` ran (proj` H)) = (_|_` H))
5	4	adantl 390	. . . . 5 |- ((G e. CH /\ H e. CH) -> (_|_` ran (proj` H)) = (_|_` H))
6	2, 5	sseq12d 2093	. . . 4 |- ((G e. CH /\ H e. CH) -> (ran (proj` G) (_ (_|_` ran (proj` H)) <-> G (_ (_|_` H)))
7	6	biimpar 419	. . 3 |- (((G e. CH /\ H e. CH) /\ G (_ (_|_` H)) -> ran (proj` G) (_ (_|_` ran (proj` H)))
8	7	3adantl3 807	. 2 |- (((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) /\ G (_ (_|_` H)) -> ran (proj` G) (_ (_|_` ran (proj` H)))
9		shorth 9163	. . . 4 |- (ran (proj` H) e. SH -> (ran (proj` G) (_ (_|_` ran (proj` H)) -> ((((proj` G)` A) e. ran (proj` G) /\ ((proj` H)` A) e. ran (proj` H)) -> (((proj` G)` A) .ih ((proj` H)` A)) = 0)))
10	9	3imp 829	. . 3 |- ((ran (proj` H) e. SH /\ ran (proj` G) (_ (_|_` ran (proj` H)) /\ (((proj` G)` A) e. ran (proj` G) /\ ((proj` H)` A) e. ran (proj` H))) -> (((proj` G)` A) .ih ((proj` H)` A)) = 0)
11		id 59	. . . . . . 7 |- (H e. CH -> H e. CH)
12	3, 11	eqeltrd 1551	. . . . . 6 |- (H e. CH -> ran (proj` H) e. CH)
13		chsh 9091	. . . . . 6 |- (ran (proj` H) e. CH -> ran (proj` H) e. SH)
14	12, 13	syl 10	. . . . 5 |- (H e. CH -> ran (proj` H) e. SH)
15	14	3ad2ant2 803	. . . 4 |- ((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) -> ran (proj` H) e. SH)
16	15	adantr 391	. . 3 |- (((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) /\ ran (proj` G) (_ (_|_` ran (proj` H))) -> ran (proj` H) e. SH)
17		pm3.27 323	. . 3 |- (((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) /\ ran (proj` G) (_ (_|_` ran (proj` H))) -> ran (proj` G) (_ (_|_` ran (proj` H)))
18		fnfvelrn 3819	. . . . . . 7 |- (((proj` G) Fn H~ /\ A e. H~) -> ((proj` G)` A) e. ran (proj` G))
19		pjfnt 9649	. . . . . . 7 |- (G e. CH -> (proj` G) Fn H~)
20	18, 19	sylan 450	. . . . . 6 |- ((G e. CH /\ A e. H~) -> ((proj` G)` A) e. ran (proj` G))
21	20	3adant2 800	. . . . 5 |- ((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) -> ((proj` G)` A) e. ran (proj` G))
22		fnfvelrn 3819	. . . . . . 7 |- (((proj` H) Fn H~ /\ A e. H~) -> ((proj` H)` A) e. ran (proj` H))
23		pjfnt 9649	. . . . . . 7 |- (H e. CH -> (proj` H) Fn H~)
24	22, 23	sylan 450	. . . . . 6 |- ((H e. CH /\ A e. H~) -> ((proj` H)` A) e. ran (proj` H))
25	24	3adant1 799	. . . . 5 |- ((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) -> ((proj` H)` A) e. ran (proj` H))
26	21, 25	jca 288	. . . 4 |- ((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) -> (((proj` G)` A) e. ran (proj` G) /\ ((proj` H)` A) e. ran (proj` H)))
27	26	adantr 391	. . 3 |- (((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) /\ ran (proj` G) (_ (_|_` ran (proj` H))) -> (((proj` G)` A) e. ran (proj` G) /\ ((proj` H)` A) e. ran (proj` H)))
28	10, 16, 17, 27	syl3anc 860	. 2 |- (((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) /\ ran (proj` G) (_ (_|_` ran (proj` H))) -> (((proj` G)` A) .ih ((proj` H)` A)) = 0)
29	8, 28	syldan 469	1 |- (((G e. CH /\ H e. CH /\ A e. H~) /\ G (_ (_|_` H)) -> (((proj` G)` A) .ih ((proj` H)` A)) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050  ran crn 3177   Fn wfn 3183  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  0cc0 5246  H~chil 8783   .ih csp 8788  SHcsh 8792  CHcch 8793  _|_cort 8794  projcpj 8801

This theorem is referenced by:  pjoi0 9658  hstrlem3a 10182

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-sh 9071  df-ch 9087  df-oc 9119  df-ch0 9120  df-pj 9232

Copyright terms: Public domain