Theorem pjnel 9585

Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm.

Hypotheses

Ref	Expression
pjnorm.1	|- H e. CH
pjnorm.2	|- A e. H~

Assertion

Ref	Expression
pjnel	|- (-. A e. H <-> (normh` ((proj` H)` A)) < (normh` A))

Proof of Theorem pjnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjnorm.1	. . . 4 |- H e. CH
2		pjnorm.2	. . . 4 |- A e. H~
3	1, 2	pjnorm 9583	. . 3 |- (normh` ((proj` H)` A)) <_ (normh` A)
4	3	biantrur 723	. 2 |- ((normh` A) =/= (normh` ((proj` H)` A)) <-> ((normh` ((proj` H)` A)) <_ (normh` A) /\ (normh` A) =/= (normh` ((proj` H)` A))))
5	1, 2	pjoc1 9179	. . . 4 |- (A e. H <-> ((proj` (_|_` H))` A) = 0h)
6	1, 2	pjhcli 9169	. . . . . . . . 9 |- ((proj` H)` A) e. H~
7	6	normcl 8919	. . . . . . . 8 |- (normh` ((proj` H)` A)) e. RR
8	7	resqcl 6554	. . . . . . 7 |- ((normh` ((proj` H)` A))^2) e. RR
9	8	recn 5286	. . . . . 6 |- ((normh` ((proj` H)` A))^2) e. CC
10	1	choccl 9101	. . . . . . . . . 10 |- (_|_` H) e. CH
11	10, 2	pjhcli 9169	. . . . . . . . 9 |- ((proj` (_|_` H))` A) e. H~
12	11	normcl 8919	. . . . . . . 8 |- (normh` ((proj` (_|_` H))` A)) e. RR
13	12	resqcl 6554	. . . . . . 7 |- ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) e. RR
14	13	recn 5286	. . . . . 6 |- ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) e. CC
15		0cn 5300	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
16	15	sqcl 6545	. . . . . 6 |- (0^2) e. CC
17	9, 14, 16	addcan 5323	. . . . 5 |- ((((normh` ((proj` H)` A))^2) + ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2)) = (((normh` ((proj` H)` A))^2) + (0^2)) <-> ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) = (0^2))
18	1, 2	pjpyth 9584	. . . . . 6 |- ((normh` A)^2) = (((normh` ((proj` H)` A))^2) + ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2))
19		sq0 6566	. . . . . . . 8 |- (0^2) = 0
20	19	opreq2i 3957	. . . . . . 7 |- (((normh` ((proj` H)` A))^2) + (0^2)) = (((normh` ((proj` H)` A))^2) + 0)
21	9	addid1 5302	. . . . . . 7 |- (((normh` ((proj` H)` A))^2) + 0) = ((normh` ((proj` H)` A))^2)
22	20, 21	eqtr2 1488	. . . . . 6 |- ((normh` ((proj` H)` A))^2) = (((normh` ((proj` H)` A))^2) + (0^2))
23	18, 22	eqeq12i 1480	. . . . 5 |- (((normh` A)^2) = ((normh` ((proj` H)` A))^2) <-> (((normh` ((proj` H)` A))^2) + ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2)) = (((normh` ((proj` H)` A))^2) + (0^2)))
24		normge0t 8913	. . . . . . . 8 |- (((proj` (_|_` H))` A) e. H~ -> 0 <_ (normh` ((proj` (_|_` H))` A)))
25	11, 24	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 0 <_ (normh` ((proj` (_|_` H))` A))
26		0re 5412	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
27	26	leid 5584	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
28	12, 26	sq11 6557	. . . . . . 7 |- ((0 <_ (normh` ((proj` (_|_` H))` A)) /\ 0 <_ 0) -> (((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) = (0^2) <-> (normh` ((proj` (_|_` H))` A)) = 0))
29	25, 27, 28	mp2an 695	. . . . . 6 |- (((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) = (0^2) <-> (normh` ((proj` (_|_` H))` A)) = 0)
30	11	norm-i 8921	. . . . . 6 |- ((normh` ((proj` (_|_` H))` A)) = 0 <-> ((proj` (_|_` H))` A) = 0h)
31	29, 30	bitr2 174	. . . . 5 |- (((proj` (_|_` H))` A) = 0h <-> ((normh` ((proj` (_|_` H))` A))^2) = (0^2))
32	17, 23, 31	3bitr4r 184	. . . 4 |- (((proj` (_|_` H))` A) = 0h <-> ((normh` A)^2) = ((normh` ((proj` H)` A))^2))
33		normge0t 8913	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> 0 <_ (normh` A))
34	2, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 <_ (normh` A)
35		normge0t 8913	. . . . . 6 |- (((proj` H)` A) e. H~ -> 0 <_ (normh` ((proj` H)` A)))
36	6, 35	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 <_ (normh` ((proj` H)` A))
37	2	normcl 8919	. . . . . 6 |- (normh` A) e. RR
38	37, 7	sq11 6557	. . . . 5 |- ((0 <_ (normh` A) /\ 0 <_ (normh` ((proj` H)` A))) -> (((normh` A)^2) = ((normh` ((proj` H)` A))^2) <-> (normh` A) = (normh` ((proj` H)` A))))
39	34, 36, 38	mp2an 695	. . . 4 |- (((normh` A)^2) = ((normh` ((proj` H)` A))^2) <-> (normh` A) = (normh` ((proj` H)` A)))
40	5, 32, 39	3bitr 177	. . 3 |- (A e. H <-> (normh` A) = (normh` ((proj` H)` A)))
41	40	necon3bbii 1589	. 2 |- (-. A e. H <-> (normh` A) =/= (normh` ((proj` H)` A)))
42	7, 37	ltlen 5549	. 2 |- ((normh` ((proj` H)` A)) < (normh` A) <-> ((normh` ((proj` H)` A)) <_ (normh` A) /\ (normh` A) =/= (normh` ((proj` H)` A))))
43	4, 41, 42	3bitr4 183	1 |- (-. A e. H <-> (normh` ((proj` H)` A)) < (normh` A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  0cc0 5206   + caddc 5209   <_ cle 5267   < clt 5458  2c2 5908  ^cexp 6500  H~chil 8727  0hc0v 8730  normhcno 8733  CHcch 8737  _|_cort 8738  projcpj 8745

This theorem is referenced by:  pjnelt 9588

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-sum 6918  df-top 7534  df-bases 7536  df-topgen 7537  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-haus 7721  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ims 8158  df-ip 8284  df-ph 8403  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 8997  df-ch 9013  df-oc 9045  df-ch0 9046  df-pj 9152

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