Theorem pjmvalt 9176

Description: The value of the projection map.

Assertion

Ref	Expression
pjmvalt	|- (H e. CH -> (proj` H) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})})

Distinct variable group:   x,w,y,z,H

Proof of Theorem pjmvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1532	. . . . . . . . 9 |- (h = H -> (z e. h <-> z e. H))
2		fveq2 3715	. . . . . . . . . 10 |- (h = H -> (_|_` h) = (_|_` H))
3	2	rexeq1d 1787	. . . . . . . . 9 |- (h = H -> (E.w e. (_|_` h)x = (z +h w) <-> E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)))
4	1, 3	anbi12d 627	. . . . . . . 8 |- (h = H -> ((z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)) <-> (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +h w))))
5	4	abbidv 1574	. . . . . . 7 |- (h = H -> {z | (z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +h w))} = {z | (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +h w))})
6		df-rab 1649	. . . . . . 7 |- {z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} = {z | (z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +h w))}
7		df-rab 1649	. . . . . . 7 |- {z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)} = {z | (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +h w))}
8	5, 6, 7	3eqtr4g 1528	. . . . . 6 |- (h = H -> {z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} = {z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})
9	8	unieqd 2507	. . . . 5 |- (h = H -> U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})
10	9	eqeq2d 1483	. . . 4 |- (h = H -> (y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} <-> y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)}))
11	10	anbi2d 615	. . 3 |- (h = H -> ((x e. H~ /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)}) <-> (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})))
12	11	opabbidv 2665	. 2 |- (h = H -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)})} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})})
13		df-pj 9175	. 2 |- proj = {<.h, f>. | (h e. CH /\ f = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)})})}
14		ax-hilex 8808	. . 3 |- H~ e. V
15	14	opabex2 3602	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})} e. V
16	12, 13, 15	fvopab4 3771	1 |- (H e. CH -> (proj` H) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461  E.wrex 1643  {crab 1645  U.cuni 2498  {copab 2661  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  H~chil 8727   +h cva 8728  CHcch 8737  _|_cort 8738  projcpj 8745

This theorem is referenced by:  pjvalt 9177  pjfn 9586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-hilex 8808

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-pj 9175

Copyright terms: Public domain