Theorem pjcmmul1 10253

Description: A necessary and sufficient condition for the product of two projectors to be a projector is that the projectors commute. Part 1 of Theorem 1 of [AkhiezerGlazman] p. 65.

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	|- G e. CH
pjclem1.2	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjcmmul1	|- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) <-> ((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj)

Proof of Theorem pjcmmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . 4 |- G e. CH
2		pjclem1.2	. . . 4 |- H e. CH
3	1, 2	pjclem4 10251	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) = (proj` (G i^i H)))
4		pjmfn 9791	. . . 4 |- proj Fn CH
5	1, 2	chincl 9512	. . . 4 |- (G i^i H) e. CH
6		fnfvelrn 3752	. . . 4 |- ((proj Fn CH /\ (G i^i H) e. CH) -> (proj` (G i^i H)) e. ran proj)
7	4, 5, 6	mp2an 694	. . 3 |- (proj` (G i^i H)) e. ran proj
8	3, 7	syl6eqel 1532	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) -> ((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj)
9		pjadj2t 10238	. . 3 |- (((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj -> (adjh` ((proj` G) o. (proj` H))) = ((proj` G) o. (proj` H)))
10	1	pjbdln 10201	. . . . 5 |- (proj` G) e. BndLinOp
11	2	pjbdln 10201	. . . . 5 |- (proj` H) e. BndLinOp
12	10, 11	adjco 10161	. . . 4 |- (adjh` ((proj` G) o. (proj` H))) = ((adjh` (proj` H)) o. (adjh` (proj` G)))
13		pjadj3t 10239	. . . . . 6 |- (H e. CH -> (adjh` (proj` H)) = (proj` H))
14	2, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (adjh` (proj` H)) = (proj` H)
15	14	coeq1i 3240	. . . 4 |- ((adjh` (proj` H)) o. (adjh` (proj` G))) = ((proj` H) o. (adjh` (proj` G)))
16		pjadj3t 10239	. . . . . 6 |- (G e. CH -> (adjh` (proj` G)) = (proj` G))
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . 5 |- (adjh` (proj` G)) = (proj` G)
18	17	coeq2i 3241	. . . 4 |- ((proj` H) o. (adjh` (proj` G))) = ((proj` H) o. (proj` G))
19	12, 15, 18	3eqtr 1475	. . 3 |- (adjh` ((proj` G) o. (proj` H))) = ((proj` H) o. (proj` G))
20	9, 19	syl5reqr 1498	. 2 |- (((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj -> ((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)))
21	8, 20	impbi 157	1 |- (((proj` G) o. (proj` H)) = ((proj` H) o. (proj` G)) <-> ((proj` G) o. (proj` H)) e. ran proj)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 1099   e. wcel 1105   i^i cin 2017  ran crn 3134   o. ccom 3137   Fn wfn 3140  ` cfv 3145  CHcch 8978  projcpj 8986  adj_hcado 9004

This theorem is referenced by:  pjcmmul2 10254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-reg 4517  ax-inf2 4549  ax-ac 4668  ax-hilex 9017  ax-hfvadd 9018  ax-hvcom 9019  ax-hvass 9020  ax-hv0cl 9021  ax-hvaddid 9022  ax-hfvmul 9023  ax-hvmulid 9024  ax-hvmulass 9025  ax-hvdistr1 9026  ax-hvdistr2 9027  ax-hvmul0 9028  ax-hfi 9095  ax-his1 9098  ax-his2 9099  ax-his3 9100  ax-his4 9101  ax-hcompl 9222

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-iin 2537  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-map 4262  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-sup 4500  df-r1 4567  df-rank 4568  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-div 5623  df-n 5824  df-2 5868  df-3 5869  df-4 5870  df-n0 5998  df-z 6034  df-fl 6123  df-q 6145  df-seq1 6196  df-shft 6229  df-ioo 6249  df-uz 6301  df-fz 6351  df-seqz 6416  df-exp 6452  df-sqr 6551  df-re 6633  df-im 6634  df-cj 6635  df-abs 6636  df-clim 6864  df-sum 6869  df-top 7485  df-bases 7487  df-topgen 7488  df-cld 7556  df-ntr 7557  df-cls 7558  df-cn 7642  df-cnp 7643  df-haus 7669  df-met 7680  df-bl 7682  df-opn 7683  df-lm 7808  df-grp 7919  df-gid 7920  df-ginv 7921  df-gdiv 7922  df-abl 7984  df-vc 8050  df-nv 8092  df-va 8094  df-ba 8095  df-sm 8096  df-0v 8097  df-vs 8098  df-nm 8099  df-ims 8100  df-ip 8219  df-lno 8274  df-nmo 8275  df-0o 8277  df-ph 8338  df-hvsub 9033  df-hnorm 9137  df-hcau 9200  df-hlim 9206  df-sh 9227  df-ch 9243  df-oc 9275  df-ch0 9276  df-pj 9366  df-h0op 9805  df-iop 9806  df-nmop 9896  df-cnop 9897  df-lnop 9898  df-bdop 9899  df-unop 9900  df-hmop 9901  df-nmfn 9902  df-nlfn 9903  df-cnfn 9904  df-lnfn 9905  df-adjh 9906

Copyright terms: Public domain