Theorem pilog 8690

Description: Relationship between pi and the natural logarithm function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pilog	|- pi = (i x. (log` -u1))

Proof of Theorem pilog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axicn 5242	. . . . . . 7 |- i e. CC
2		pire 8596	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
3	2	recn 5286	. . . . . . 7 |- pi e. CC
4	1, 3	mulcl 5293	. . . . . 6 |- (i x. pi) e. CC
5		1z 6106	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
6		znegclt 6110	. . . . . . 7 |- (1 e. ZZ -> -u1 e. ZZ)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . 6 |- -u1 e. ZZ
8		efper 8669	. . . . . 6 |- (((i x. pi) e. CC /\ -u1 e. ZZ) -> (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` (i x. pi)))
9	4, 7, 8	mp2an 695	. . . . 5 |- (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` (i x. pi))
10		2cn 5927	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
11	10, 3	mulcl 5293	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. pi) e. CC
12	1, 11	mulcl 5293	. . . . . . . . 9 |- (i x. (2 x. pi)) e. CC
13	4, 12	negsub 5353	. . . . . . . 8 |- ((i x. pi) + -u(i x. (2 x. pi))) = ((i x. pi) - (i x. (2 x. pi)))
14		zcnt 6087	. . . . . . . . . . . 12 |- (-u1 e. ZZ -> -u1 e. CC)
15	7, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- -u1 e. CC
16	12, 15	mulcom 5295	. . . . . . . . . 10 |- ((i x. (2 x. pi)) x. -u1) = (-u1 x. (i x. (2 x. pi)))
17	12	mulm1 5444	. . . . . . . . . 10 |- (-u1 x. (i x. (2 x. pi))) = -u(i x. (2 x. pi))
18	16, 17	eqtr 1487	. . . . . . . . 9 |- ((i x. (2 x. pi)) x. -u1) = -u(i x. (2 x. pi))
19	18	opreq2i 3957	. . . . . . . 8 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = ((i x. pi) + -u(i x. (2 x. pi)))
20	1, 3, 11	subdi 5401	. . . . . . . 8 |- (i x. (pi - (2 x. pi))) = ((i x. pi) - (i x. (2 x. pi)))
21	13, 19, 20	3eqtr4 1497	. . . . . . 7 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = (i x. (pi - (2 x. pi)))
22	11, 3	negsubdi2 5422	. . . . . . . . 9 |- -u((2 x. pi) - pi) = (pi - (2 x. pi))
23	3	2times 5950	. . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. pi) = (pi + pi)
24	23	eqcomi 1471	. . . . . . . . . . 11 |- (pi + pi) = (2 x. pi)
25	11, 3, 3, 24	subaddri 5344	. . . . . . . . . 10 |- ((2 x. pi) - pi) = pi
26	25	negeqi 5332	. . . . . . . . 9 |- -u((2 x. pi) - pi) = -upi
27	22, 26	eqtr3 1489	. . . . . . . 8 |- (pi - (2 x. pi)) = -upi
28	27	opreq2i 3957	. . . . . . 7 |- (i x. (pi - (2 x. pi))) = (i x. -upi)
29	1, 3	mulneg2 5418	. . . . . . 7 |- (i x. -upi) = -u(i x. pi)
30	21, 28, 29	3eqtr 1491	. . . . . 6 |- ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1)) = -u(i x. pi)
31	30	fveq2i 3712	. . . . 5 |- (exp` ((i x. pi) + ((i x. (2 x. pi)) x. -u1))) = (exp` -u(i x. pi))
32		df-neg 5330	. . . . . 6 |- -u1 = (0 - 1)
33		eulerid 8602	. . . . . . 7 |- ((exp` (i x. pi)) + 1) = 0
34		0cn 5300	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
35		ax1cn 5241	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
36		efclt 7254	. . . . . . . . 9 |- ((i x. pi) e. CC -> (exp` (i x. pi)) e. CC)
37	4, 36	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (exp` (i x. pi)) e. CC
38	34, 35, 37	subadd2 5345	. . . . . . 7 |- ((0 - 1) = (exp` (i x. pi)) <-> ((exp` (i x. pi)) + 1) = 0)
39	33, 38	mpbir 190	. . . . . 6 |- (0 - 1) = (exp` (i x. pi))
40	32, 39	eqtr2 1488	. . . . 5 |- (exp` (i x. pi)) = -u1
41	9, 31, 40	3eqtr3 1495	. . . 4 |- (exp` -u(i x. pi)) = -u1
42		ax1ne0 5252	. . . . . 6 |- 1 =/= 0
43	35, 42	negn0 5764	. . . . 5 |- -u1 =/= 0
44		fveq2 3709	. . . . . . . . 9 |- (x = -u(i x. pi) -> (Im` x) = (Im` -u(i x. pi)))
45	44	eleq1d 1532	. . . . . . . 8 |- (x = -u(i x. pi) -> ((Im` x) e. (-upi[,)pi) <-> (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)))
46	45	elrab 1896	. . . . . . 7 |- (-u(i x. pi) e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)} <-> (-u(i x. pi) e. CC /\ (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)))
47	4	negcl 5341	. . . . . . 7 |- -u(i x. pi) e. CC
48	4	imneg 6731	. . . . . . . . 9 |- (Im` -u(i x. pi)) = -u(Im` (i x. pi))
49	4	addid2 5303	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 + (i x. pi)) = (i x. pi)
50	49	fveq2i 3712	. . . . . . . . . . 11 |- (Im` (0 + (i x. pi))) = (Im` (i x. pi))
51		0re 5412	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
52	51, 2	crim 6708	. . . . . . . . . . 11 |- (Im` (0 + (i x. pi))) = pi
53	50, 52	eqtr3 1489	. . . . . . . . . 10 |- (Im` (i x. pi)) = pi
54	53	negeqi 5332	. . . . . . . . 9 |- -u(Im` (i x. pi)) = -upi
55	48, 54	eqtr 1487	. . . . . . . 8 |- (Im` -u(i x. pi)) = -upi
56	2	renegcl 5388	. . . . . . . . 9 |- -upi e. RR
57	56	leid 5584	. . . . . . . . 9 |- -upi <_ -upi
58		pipos 8597	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < pi
59		lt0neg2t 5642	. . . . . . . . . . . 12 |- (pi e. RR -> (0 < pi <-> -upi < 0))
60	2, 59	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (0 < pi <-> -upi < 0)
61	58, 60	mpbi 189	. . . . . . . . . 10 |- -upi < 0
62	56, 51, 2	lttr 5559	. . . . . . . . . 10 |- ((-upi < 0 /\ 0 < pi) -> -upi < pi)
63	61, 58, 62	mp2an 695	. . . . . . . . 9 |- -upi < pi
64		elico2t 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ((-upi e. RR /\ pi e. RR) -> (-upi e. (-upi[,)pi) <-> (-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi)))
65	56, 2, 64	mp2an 695	. . . . . . . . . 10 |- (-upi e. (-upi[,)pi) <-> (-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi))
66	65	biimpr 152	. . . . . . . . 9 |- ((-upi e. RR /\ -upi <_ -upi /\ -upi < pi) -> -upi e. (-upi[,)pi))
67	56, 57, 63, 66	mp3an 913	. . . . . . . 8 |- -upi e. (-upi[,)pi)
68	55, 67	eqeltr 1536	. . . . . . 7 |- (Im` -u(i x. pi)) e. (-upi[,)pi)
69	46, 47, 68	mpbir2an 728	. . . . . 6 |- -u(i x. pi) e. {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
70		logrn 8673	. . . . . 6 |- ran log = {x e. CC | (Im` x) e. (-upi[,)pi)}
71	69, 70	eleqtrr 1539	. . . . 5 |- -u(i x. pi) e. ran log
72		logeftb 8686	. . . . 5 |- ((-u1 e. CC /\ -u1 =/= 0 /\ -u(i x. pi) e. ran log) -> ((log` -u1) = -u(i x. pi) <-> (exp` -u(i x. pi)) = -u1))
73	15, 43, 71, 72	mp3an 913	. . . 4 |- ((log` -u1) = -u(i x. pi) <-> (exp` -u(i x. pi)) = -u1)
74	41, 73	mpbir 190	. . 3 |- (log` -u1) = -u(i x. pi)
75	74	opreq2i 3957	. 2 |- (i x. (log` -u1)) = (i x. -u(i x. pi))
76	1, 4	mulneg2 5418	. . 3 |- (i x. -u(i x. pi)) = -u(i x. (i x. pi))
77		ixi 5654	. . . . . 6 |- (i x. i) = -u1
78	77	opreq1i 3956	. . . . 5 |- ((i x. i) x. pi) = (-u1 x. pi)
79	1, 1, 3	mulass 5297	. . . . 5 |- ((i x. i) x. pi) = (i x. (i x. pi))
80	3	mulm1 5444	. . . . 5 |- (-u1 x. pi) = -upi
81	78, 79, 80	3eqtr3 1495	. . . 4 |- (i x. (i x. pi)) = -upi
82	81	negeqi 5332	. . 3 |- -u(i x. (i x. pi)) = -u-upi
83	3	negneg 5362	. . 3 |- -u-upi = pi
84	76, 82, 83	3eqtr 1491	. 2 |- (i x. -u(i x. pi)) = pi
85	75, 84	eqtr2 1488	1 |- pi = (i x. (log` -u1))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  {crab 1640   class class class wbr 2609  ran crn 3161  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  2c2 5908  [,)cico 6296  Imcim 6679  expce 7235  picpi 7239  logclog 8671

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921  df-7 5922  df-8 5923  df-9 5924  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-rp 6219  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-ioc 6299  df-ico 6300  df-icc 6301  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869<