Theorem php2 4494

Description: Corollary of Pigeonhole Principle.

Assertion

Ref	Expression
php2	|- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)

Proof of Theorem php2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1526	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. om <-> A e. om))
2		psseq2 2126	. . . . 5 |- (x = A -> (B (. x <-> B (. A))
3	1, 2	anbi12d 626	. . . 4 |- (x = A -> ((x e. om /\ B (. x) <-> (A e. om /\ B (. A)))
4		breq2 2613	. . . 4 |- (x = A -> (B ~< x <-> B ~< A))
5	3, 4	imbi12d 624	. . 3 |- (x = A -> (((x e. om /\ B (. x) -> B ~< x) <-> ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)))
6		pssss 2133	. . . . . . 7 |- (B (. x -> B (_ x)
7		visset 1804	. . . . . . . 8 |- x e. V
8		ssdom2g 4390	. . . . . . . 8 |- (x e. V -> (B (_ x -> B ~<_ x))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (B (_ x -> B ~<_ x)
10	6, 9	syl 10	. . . . . 6 |- (B (. x -> B ~<_ x)
11	10	adantl 388	. . . . 5 |- ((x e. om /\ B (. x) -> B ~<_ x)
12		php 4493	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ B (. x) -> -. x ~~ B)
13	7	ensym 4393	. . . . . 6 |- (B ~~ x -> x ~~ B)
14	12, 13	nsyl 116	. . . . 5 |- ((x e. om /\ B (. x) -> -. B ~~ x)
15	11, 14	jca 288	. . . 4 |- ((x e. om /\ B (. x) -> (B ~<_ x /\ -. B ~~ x))
16		brsdom 4363	. . . 4 |- (B ~< x <-> (B ~<_ x /\ -. B ~~ x))
17	15, 16	sylibr 200	. . 3 |- ((x e. om /\ B (. x) -> B ~< x)
18	5, 17	vtoclg 1838	. 2 |- (A e. om -> ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A))
19	18	anabsi5 494	1 |- ((A e. om /\ B (. A) -> B ~< A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   (_ wss 2037   (. wpss 2038   class class class wbr 2609  omcom 3121   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350

This theorem is referenced by:  php4 4496  nndomo 4500

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353

Copyright terms: Public domain