Theorem peano4 3785

Description: Two natural numbers are equal iff their successors are equal, i.e. the successor function is one-to-one. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(4) of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
peano4	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A = suc B <-> A = B))

Proof of Theorem peano4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suc11 3584	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc A = suc B <-> A = B))
2		nnon 3768	. 2 |- (A e. om -> A e. On)
3		nnon 3768	. 2 |- (B e. om -> B e. On)
4	1, 2, 3	syl2an 501	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A = suc B <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 162   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  Oncon0 3472  suc csuc 3474  omcom 3760

This theorem is referenced by:  dif1en 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-rab 1946  df-v 2127  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761

Copyright terms: Public domain