Theorem peano4 3115

Description: Two natural numbers are equal iff their successors are equal, i.e. the successor function is one-to-one. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(4) of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
peano4	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A = suc B <-> A = B))

Proof of Theorem peano4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suc11 3056	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc A = suc B <-> A = B))
2		nnont 3101	. 2 |- (A e. om -> A e. On)
3		nnont 3101	. 2 |- (B e. om -> B e. On)
4	1, 2, 3	syl2an 454	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A = suc B <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  Oncon0 2911  suc csuc 2913  omcom 3094

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-suc 2917  df-om 3095

Copyright terms: Public domain