Theorem peano2b 3147

Description: A class belongs to omega iff its successor does.

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- (A e. om <-> suc A e. om)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 3146	. 2 |- Lim om
2		limsuc 3120	. 2 |- (Lim om -> (A e. om <-> suc A e. om))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A e. om <-> suc A e. om)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 958  Lim wlim 2949  suc csuc 2950  omcom 3131

This theorem is referenced by:  nnsuc 3148  peano2 3150  peano5 3153  frsuct 3953  nnacom 4233  nnmsucr 4240  omsmolem 4256  php 4513  php4 4517  omsucdom 4523  unblem1 4540  isfinite2OLD 4546  inf0 4606  inf3lem1 4613  inf3lem5 4617  sucdom 4842  indpi 5034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132

Copyright terms: Public domain