Theorem peano2 3113

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
peano2	|- (A e. om -> suc A e. om)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 3110	. 2 |- (A e. om <-> suc A e. om)
2	1	biimp 151	1 |- (A e. om -> suc A e. om)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1105  suc csuc 2913  omcom 3094

This theorem is referenced by:  nnacl 4167  nnecl 4169  1onn 4191  2onn 4192  unbnn2 4474  axinf2 4548  dfom3 4554  noinfep 4564  trcl 4569  alephfp 4823  om2uzran 6188  uzrdgsuc 6192

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095

Copyright terms: Public domain