Theorem orduniorsuc 3093

Description: An ordinal class is either its union or the successor of its union.

Assertion

Ref	Expression
orduniorsuc	|- (Ord A -> (A = U.A \/ A = suc U.A))

Proof of Theorem orduniorsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orduniss 3082	. . . . . 6 |- (Ord A -> U.A (_ A)
2		orduni 3003	. . . . . . . 8 |- (Ord A -> Ord U.A)
3		ordelssne 2980	. . . . . . . 8 |- ((Ord U.A /\ Ord A) -> (U.A e. A <-> (U.A (_ A /\ U.A =/= A)))
4	2, 3	mpancom 707	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (U.A e. A <-> (U.A (_ A /\ U.A =/= A)))
5	4	biimprd 154	. . . . . 6 |- (Ord A -> ((U.A (_ A /\ U.A =/= A) -> U.A e. A))
6	1, 5	mpand 703	. . . . 5 |- (Ord A -> (U.A =/= A -> U.A e. A))
7		ordsucss 3075	. . . . 5 |- (Ord A -> (U.A e. A -> suc U.A (_ A))
8	6, 7	syld 27	. . . 4 |- (Ord A -> (U.A =/= A -> suc U.A (_ A))
9		ordsucuni 3092	. . . 4 |- (Ord A -> A (_ suc U.A)
10	8, 9	jctild 603	. . 3 |- (Ord A -> (U.A =/= A -> (A (_ suc U.A /\ suc U.A (_ A)))
11		df-ne 1590	. . . 4 |- (A =/= U.A <-> -. A = U.A)
12		necom 1639	. . . 4 |- (A =/= U.A <-> U.A =/= A)
13	11, 12	bitr3 175	. . 3 |- (-. A = U.A <-> U.A =/= A)
14		eqss 2080	. . 3 |- (A = suc U.A <-> (A (_ suc U.A /\ suc U.A (_ A))
15	10, 13, 14	3imtr4g 555	. 2 |- (Ord A -> (-. A = U.A -> A = suc U.A))
16	15	orrd 233	1 |- (Ord A -> (A = U.A \/ A = suc U.A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   (_ wss 2050  U.cuni 2507  Ord word 2953  suc csuc 2956

This theorem is referenced by:  onsucuni2 3097  onuniorsuc 3113

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-suc 2960

Copyright terms: Public domain