Theorem ordunel 3079

Description: The maximum of two ordinals belongs to a third if each of them do.

Assertion

Ref	Expression
ordunel	|- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. A)

Proof of Theorem ordunel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucss 3064	. . . 4 |- (Ord A -> (B e. A -> suc B (_ A))
2		ordsucss 3064	. . . 4 |- (Ord A -> (C e. A -> suc C (_ A))
3	1, 2	anim12d 557	. . 3 |- (Ord A -> ((B e. A /\ C e. A) -> (suc B (_ A /\ suc C (_ A)))
4	3	3impib 830	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (suc B (_ A /\ suc C (_ A))
5		ordsucun 3077	. . . . . . 7 |- ((Ord B /\ Ord C) -> suc (B u. C) = (suc B u. suc C))
6		ordelord 2965	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)
7	6	3adant3 798	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> Ord B)
8		ordelord 2965	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ C e. A) -> Ord C)
9	8	3adant2 797	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> Ord C)
10	5, 7, 9	sylanc 471	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> suc (B u. C) = (suc B u. suc C))
11	10	sseq1d 2084	. . . . 5 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (suc (B u. C) (_ A <-> (suc B u. suc C) (_ A))
12	11	biimprd 154	. . . 4 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((suc B u. suc C) (_ A -> suc (B u. C) (_ A))
13		ordelsuc 3066	. . . . 5 |- (((B u. C) e. V /\ Ord A) -> ((B u. C) e. A <-> suc (B u. C) (_ A))
14		unexg 2869	. . . . . 6 |- ((B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. V)
15	14	3adant1 796	. . . . 5 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. V)
16		3simp1 787	. . . . 5 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> Ord A)
17	13, 15, 16	sylanc 471	. . . 4 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((B u. C) e. A <-> suc (B u. C) (_ A))
18	12, 17	sylibrd 204	. . 3 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((suc B u. suc C) (_ A -> (B u. C) e. A))
19		unss 2200	. . 3 |- ((suc B (_ A /\ suc C (_ A) <-> (suc B u. suc C) (_ A)
20	18, 19	syl5ib 206	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((suc B (_ A /\ suc C (_ A) -> (B u. C) e. A))
21	4, 20	mpd 26	1 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   u. cun 2041   (_ wss 2043  Ord word 2942  suc csuc 2945

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949

Copyright terms: Public domain