Theorem ordtri4 2984

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri4	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> (A (_ B /\ -. A e. B)))

Proof of Theorem ordtri4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri3 2983	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))
2		ordtri1 2980	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
3	2	anbi1d 617	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A (_ B /\ -. A e. B) <-> (-. B e. A /\ -. A e. B)))
4		ancom 435	. . . 4 |- ((-. B e. A /\ -. A e. B) <-> (-. A e. B /\ -. B e. A))
5		ioran 306	. . . 4 |- (-. (A e. B \/ B e. A) <-> (-. A e. B /\ -. B e. A))
6	4, 5	bitr4 176	. . 3 |- ((-. B e. A /\ -. A e. B) <-> -. (A e. B \/ B e. A))
7	3, 6	syl6bb 536	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A (_ B /\ -. A e. B) <-> -. (A e. B \/ B e. A)))
8	1, 7	bitr4d 531	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> (A (_ B /\ -. A e. B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  Ord word 2947

This theorem is referenced by:  carduni 4858  alephfp 4900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951

Copyright terms: Public domain