Theorem ordtri3 2978

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri3	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))

Proof of Theorem ordtri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1532	. . . . . . 7 |- (A = B -> (A e. A <-> A e. B))
2	1	negbid 610	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. A e. A <-> -. A e. B))
3		ordirr 2961	. . . . . 6 |- (Ord A -> -. A e. A)
4	2, 3	syl5bi 208	. . . . 5 |- (A = B -> (Ord A -> -. A e. B))
5		eleq2 1532	. . . . . . 7 |- (A = B -> (B e. A <-> B e. B))
6	5	negbid 610	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. B e. A <-> -. B e. B))
7		ordirr 2961	. . . . . 6 |- (Ord B -> -. B e. B)
8	6, 7	syl5bir 210	. . . . 5 |- (A = B -> (Ord B -> -. B e. A))
9	4, 8	anim12d 557	. . . 4 |- (A = B -> ((Ord A /\ Ord B) -> (-. A e. B /\ -. B e. A)))
10		ioran 306	. . . 4 |- (-. (A e. B \/ B e. A) <-> (-. A e. B /\ -. B e. A))
11	9, 10	syl6ibr 213	. . 3 |- (A = B -> ((Ord A /\ Ord B) -> -. (A e. B \/ B e. A)))
12	11	com12 11	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B -> -. (A e. B \/ B e. A)))
13		ordtri3or 2974	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B \/ A = B \/ B e. A))
14		df-3or 775	. . . 4 |- ((A e. B \/ A = B \/ B e. A) <-> ((A e. B \/ A = B) \/ B e. A))
15		or23 263	. . . 4 |- (((A e. B \/ A = B) \/ B e. A) <-> ((A e. B \/ B e. A) \/ A = B))
16		df-or 224	. . . 4 |- (((A e. B \/ B e. A) \/ A = B) <-> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
17	14, 15, 16	3bitr 177	. . 3 |- ((A e. B \/ A = B \/ B e. A) <-> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
18	13, 17	sylib 198	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
19	12, 18	impbid 515	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 773   = wceq 954   e. wcel 956  Ord word 2942

This theorem is referenced by:  ordtri4 2979  ordunisuc2 3110  tz7.48lem 3946  oacan 4172  omcan 4190  oecan 4206  omsmo 4247  inf3lem6 4598  om2uzf1o 6246

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946

Copyright terms: Public domain