Theorem ordsucun 3082

Description: The successor of the maximum (i.e. union) of two ordinals is the maximum of their successors.

Assertion

Ref	Expression
ordsucun	|- ((Ord A /\ Ord B) -> suc (A u. B) = (suc A u. suc B))

Proof of Theorem ordsucun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordssun 3079	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x (_ (A u. B) <-> (x (_ A \/ x (_ B)))
2	1	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ (A u. B) <-> (x (_ A \/ x (_ B)))
3		ordsssuc 3057	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ Ord (A u. B)) -> (x (_ (A u. B) <-> x e. suc (A u. B)))
4		ordun 3081	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord B) -> Ord (A u. B))
5	3, 4	sylan2 451	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ (A u. B) <-> x e. suc (A u. B)))
6		ordsssuc 3057	. . . . . . . . 9 |- ((x e. On /\ Ord A) -> (x (_ A <-> x e. suc A))
7	6	adantrr 395	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ A <-> x e. suc A))
8		ordsssuc 3057	. . . . . . . . 9 |- ((x e. On /\ Ord B) -> (x (_ B <-> x e. suc B))
9	8	adantrl 394	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ B <-> x e. suc B))
10	7, 9	orbi12d 627	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> ((x (_ A \/ x (_ B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B)))
11	2, 5, 10	3bitr3d 548	. . . . . 6 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x e. suc (A u. B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B)))
12		elun 2173	. . . . . 6 |- (x e. (suc A u. suc B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B))
13	11, 12	syl6bbr 538	. . . . 5 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B)))
14	13	expcom 374	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. On -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B))))
15	14	pm5.32d 647	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((x e. On /\ x e. suc (A u. B)) <-> (x e. On /\ x e. (suc A u. suc B))))
16		ordsuc 3065	. . . . . 6 |- (Ord (A u. B) <-> Ord suc (A u. B))
17		ordelon 2971	. . . . . . 7 |- ((Ord suc (A u. B) /\ x e. suc (A u. B)) -> x e. On)
18	17	ex 373	. . . . . 6 |- (Ord suc (A u. B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
19	16, 18	sylbi 199	. . . . 5 |- (Ord (A u. B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
20	4, 19	syl 10	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
21	20	pm4.71rd 639	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) <-> (x e. On /\ x e. suc (A u. B))))
22		ordun 3081	. . . . . 6 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> Ord (suc A u. suc B))
23		ordelon 2971	. . . . . . 7 |- ((Ord (suc A u. suc B) /\ x e. (suc A u. suc B)) -> x e. On)
24	23	ex 373	. . . . . 6 |- (Ord (suc A u. suc B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
25	22, 24	syl 10	. . . . 5 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
26		ordsuc 3065	. . . . 5 |- (Ord A <-> Ord suc A)
27		ordsuc 3065	. . . . 5 |- (Ord B <-> Ord suc B)
28	25, 26, 27	syl2anb 455	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
29	28	pm4.71rd 639	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. (suc A u. suc B) <-> (x e. On /\ x e. (suc A u. suc B))))
30	15, 21, 29	3bitr4d 550	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B)))
31	30	eqrdv 1473	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> suc (A u. B) = (suc A u. suc B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   u. cun 2045   (_ wss 2047  Ord word 2947  Oncon0 2948  suc csuc 2950

This theorem is referenced by:  ordunel 3084  rankpr 4692

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954

Copyright terms: Public domain