Theorem ordsucsssuc 3069

Description: The subclass relationship between two ordinal classes is inherited by their successors.

Assertion

Ref	Expression
ordsucsssuc	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> suc A (_ suc B))

Proof of Theorem ordsucsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucelsuc 3068	. . . 4 |- (Ord A -> (B e. A <-> suc B e. suc A))
2	1	negbid 610	. . 3 |- (Ord A -> (-. B e. A <-> -. suc B e. suc A))
3	2	adantr 389	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. B e. A <-> -. suc B e. suc A))
4		ordtri1 2975	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
5		ordtri1 2975	. . 3 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> (suc A (_ suc B <-> -. suc B e. suc A))
6		ordsuc 3060	. . 3 |- (Ord A <-> Ord suc A)
7		ordsuc 3060	. . 3 |- (Ord B <-> Ord suc B)
8	5, 6, 7	syl2anb 455	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ suc B <-> -. suc B e. suc A))
9	3, 4, 8	3bitr4d 549	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> suc A (_ suc B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956   (_ wss 2043  Ord word 2942  suc csuc 2945

This theorem is referenced by:  oawordri 4174  oeworde 4210  rankel 4660  bndrank 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949

Copyright terms: Public domain