Theorem ordsucss 3064

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it.

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	|- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordnbtwn 3058	. . . . . . . 8 |- (Ord A -> -. (A e. B /\ B e. suc A))
2		imnan 242	. . . . . . . 8 |- ((A e. B -> -. B e. suc A) <-> -. (A e. B /\ B e. suc A))
3	1, 2	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (A e. B -> -. B e. suc A))
4	3	adantr 389	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> -. B e. suc A))
5		ordtri1 2975	. . . . . . 7 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> -. B e. suc A))
6		ordsuc 3060	. . . . . . 7 |- (Ord A <-> Ord suc A)
7	5, 6	sylanb 449	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> -. B e. suc A))
8	4, 7	sylibrd 204	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A (_ B))
9		ordelord 2965	. . . . 5 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
10	8, 9	sylan 448	. . . 4 |- (((Ord B /\ A e. B) /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A (_ B))
11	10	exp31 376	. . 3 |- (Ord B -> (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))))
12	11	pm2.43b 67	. 2 |- (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B)))
13	12	pm2.43b 67	1 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956   (_ wss 2043  Ord word 2942  suc csuc 2945

This theorem is referenced by:  ordelsuc 3066  ordsucelsuc 3068  ordunel 3079  orduniorsuc 3082  tfindsg2 3158  oaordi 4170  oawordeulem 4178  oeworde 4210  inf3lem5 4597  r1ord 4635  r1val1 4638  rankval3 4661  indpi 5014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949

Copyright terms: Public domain