Theorem ordsucelsuc 3073

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	|- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2976	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
2		ordsuc 3065	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A <-> Ord suc A)
3	1, 2	sylanb 449	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
4	3	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
5		ordsucss 3069	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))
6	5	ad2antll 407	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B -> suc A (_ B))
7		sucssel 3070	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. V -> (suc A (_ B -> A e. B))
8	7	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A (_ B -> A e. B))
9	6, 8	impbid 516	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A (_ B))
10		sucexb 3048	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. V <-> suc A e. V)
11		elsucg 3036	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc A e. V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
12	10, 11	sylbi 199	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
14	4, 9, 13	3bitr4d 550	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
15	14	ex 373	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
16		elisset 1817	. . . . . . . . . 10 |- (A e. B -> A e. V)
17		elisset 1817	. . . . . . . . . . 11 |- (suc A e. suc B -> suc A e. V)
18	17, 10	sylibr 200	. . . . . . . . . 10 |- (suc A e. suc B -> A e. V)
19	16, 18	pm5.21ni 678	. . . . . . . . 9 |- (-. A e. V -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
20	19	a1d 12	. . . . . . . 8 |- (-. A e. V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
21	15, 20	pm2.61i 126	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
22	21	biimpd 153	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
23		ordelord 2970	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
24	22, 23	sylan 448	. . . . 5 |- (((Ord B /\ A e. B) /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
25	24	exp31 376	. . . 4 |- (Ord B -> (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))))
26	25	pm2.43a 66	. . 3 |- (Ord B -> (A e. B -> (A e. B -> suc A e. suc B)))
27	26	pm2.43d 65	. 2 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))
28	21	biimprd 154	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
29		ordelord 2970	. . . . . . . 8 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord suc A)
30	29, 2	sylibr 200	. . . . . . 7 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
31		ordsuc 3065	. . . . . . 7 |- (Ord B <-> Ord suc B)
32	30, 31	sylanb 449	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
33	28, 32	sylan 448	. . . . 5 |- (((Ord B /\ suc A e. suc B) /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
34	33	exp31 376	. . . 4 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))))
35	34	pm2.43a 66	. . 3 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (suc A e. suc B -> A e. B)))
36	35	pm2.43d 65	. 2 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))
37	27, 36	impbid 516	1 |- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   (_ wss 2047  Ord word 2947  suc csuc 2950

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc 3074  oalimcl 4194  omlimcl 4209  pssnn 4534  r1pw 4686  rankelpr 4708  rankelop 4709  rankxplim3 4714

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954

Copyright terms: Public domain