Theorem ordsssuc 3052

Description: A subset of an ordinal belongs to its successor.

Assertion

Ref	Expression
ordsssuc	|- ((A e. On /\ Ord B) -> (A (_ B <-> A e. suc B))

Proof of Theorem ordsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2971	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
2		eloni 2953	. . 3 |- (A e. On -> Ord A)
3	1, 2	sylan 448	. 2 |- ((A e. On /\ Ord B) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
4		elsucg 3031	. . 3 |- (A e. On -> (A e. suc B <-> (A e. B \/ A = B)))
5	4	adantr 389	. 2 |- ((A e. On /\ Ord B) -> (A e. suc B <-> (A e. B \/ A = B)))
6	3, 5	bitr4d 530	1 |- ((A e. On /\ Ord B) -> (A (_ B <-> A e. suc B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   (_ wss 2043  Ord word 2942  Oncon0 2943  suc csuc 2945

This theorem is referenced by:  onsssuc 3053  ordpwsuc 3061  ordsucun 3077  ordunisssuc 3078

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949

Copyright terms: Public domain