Theorem ordelssne 2974

Description: Corollary 7.8 of [TakeutiZaring] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
ordelssne	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> (A (_ B /\ A =/= B)))

Proof of Theorem ordelssne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz7.7 2973	. . 3 |- ((Ord B /\ Tr A) -> (A e. B <-> (A (_ B /\ A =/= B)))
2		ordtr 2962	. . 3 |- (Ord A -> Tr A)
3	1, 2	sylan2 451	. 2 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (A e. B <-> (A (_ B /\ A =/= B)))
4	3	ancoms 436	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> (A (_ B /\ A =/= B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958   =/= wne 1585   (_ wss 2047  Tr wtr 2680  Ord word 2947

This theorem is referenced by:  ordelpss 2975  ordsseleq 2976  ordsson 2991  onelpsst 2998  orduniorsuc 3087  ominfOLD 4529

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951

Copyright terms: Public domain