Theorem ordelord 2970

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36.

Assertion

Ref	Expression
ordelord	|- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)

Proof of Theorem ordelord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. . . . 5 |- (x = B -> (x e. A <-> B e. A))
2	1	anbi2d 616	. . . 4 |- (x = B -> ((Ord A /\ x e. A) <-> (Ord A /\ B e. A)))
3		ordeq 2955	. . . 4 |- (x = B -> (Ord x <-> Ord B))
4	2, 3	imbi12d 626	. . 3 |- (x = B -> (((Ord A /\ x e. A) -> Ord x) <-> ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)))
5		wetrep 2942	. . . . . . . . . . 11 |- ((E We A /\ (z e. A /\ y e. A /\ x e. A)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
6		ordwe 2961	. . . . . . . . . . 11 |- (Ord A -> E We A)
7	5, 6	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- ((Ord A /\ (z e. A /\ y e. A /\ x e. A)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
8		simpll 412	. . . . . . . . . 10 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> Ord A)
9		ordtr 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Ord A -> Tr A)
10		trel3 2688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) -> z e. A))
11	9, 10	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Ord A -> ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) -> z e. A))
12		3anrot 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. A /\ z e. y /\ y e. x) <-> (z e. y /\ y e. x /\ x e. A))
13		3anass 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. A /\ z e. y /\ y e. x) <-> (x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)))
14	12, 13	bitr3 175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) <-> (x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)))
15	11, 14	syl5ibr 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Ord A -> ((x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)) -> z e. A))
16	15	exp3a 375	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A -> (x e. A -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. A)))
17	16	imp31 362	. . . . . . . . . . 11 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> z e. A)
18		trel 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Tr A -> ((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
19	9, 18	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Ord A -> ((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
20	19	exp3a 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Ord A -> (y e. x -> (x e. A -> y e. A)))
21	20	com23 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Ord A -> (x e. A -> (y e. x -> y e. A)))
22	21	imp31 362	. . . . . . . . . . . 12 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ y e. x) -> y e. A)
23	22	adantrl 394	. . . . . . . . . . 11 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> y e. A)
24		simplr 413	. . . . . . . . . . 11 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> x e. A)
25	17, 23, 24	3jca 819	. . . . . . . . . 10 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> (z e. A /\ y e. A /\ x e. A))
26	7, 8, 25	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
27	26	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ x e. A) -> ((z e. y /\ y e. x) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x)))
28	27	pm2.43d 65	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ x e. A) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
29	28	19.21aivv 1287	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ x e. A) -> A.zA.y((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
30		dftr2 2682	. . . . . 6 |- (Tr x <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
31	29, 30	sylibr 200	. . . . 5 |- ((Ord A /\ x e. A) -> Tr x)
32		trss 2689	. . . . . . . 8 |- (Tr A -> (x e. A -> x (_ A))
33	9, 32	syl 10	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (x e. A -> x (_ A))
34		wess 2936	. . . . . . . 8 |- (x (_ A -> (E We A -> E We x))
35	34, 6	syl5com 52	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (x (_ A -> E We x))
36	33, 35	syld 27	. . . . . 6 |- (Ord A -> (x e. A -> E We x))
37	36	imp 350	. . . . 5 |- ((Ord A /\ x e. A) -> E We x)
38	31, 37	jca 288	. . . 4 |- ((Ord A /\ x e. A) -> (Tr x /\ E We x))
39		df-ord 2951	. . . 4 |- (Ord x <-> (Tr x /\ E We x))
40	38, 39	sylibr 200	. . 3 |- ((Ord A /\ x e. A) -> Ord x)
41	4, 40	vtoclg 1847	. 2 |- (B e. A -> ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B))
42	41	anabsi7 497	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  Tr wtr 2680  Ecep 2830   We wwe 2916  Ord word 2947

This theorem is referenced by:  ordelon 2971  ordon 2987  ssorduni 2993  ordtr2 3002  ordsuc 3065  ordsucss 3069  ordsucelsuc 3073  ordunel 3084  limsssuc 3121  ordom 3141  rdglim2 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951

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