Theorem ord0eln0 3023

Description: A non-empty ordinal contains the empty set.

Assertion

Ref	Expression
ord0eln0	|- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))

Proof of Theorem ord0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 2286	. 2 |- ((/) e. A -> A =/= (/))
2		ord0 3021	. . . . 5 |- Ord (/)
3		noel 2284	. . . . . 6 |- -. A e. (/)
4		ordtri2 2982	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord (/)) -> (A e. (/) <-> -. (A = (/) \/ (/) e. A)))
5	4	con2bid 526	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord (/)) -> ((A = (/) \/ (/) e. A) <-> -. A e. (/)))
6	3, 5	mpbiri 194	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord (/)) -> (A = (/) \/ (/) e. A))
7	2, 6	mpan2 696	. . . 4 |- (Ord A -> (A = (/) \/ (/) e. A))
8	7	ord 232	. . 3 |- (Ord A -> (-. A = (/) -> (/) e. A))
9		df-ne 1587	. . 3 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
10	8, 9	syl5ib 206	. 2 |- (Ord A -> (A =/= (/) -> (/) e. A))
11	1, 10	impbid2 518	1 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  (/)c0 2280  Ord word 2947

This theorem is referenced by:  on0eln0 3024  dflim2 3025  0ellim 3031  0elsuc 3092  ordge1n0 4145  omwordi 4202  omass 4211  elni2 5005

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951

Copyright terms: Public domain