Theorem oprabval6g 4023

Description: The value of an operation class abstraction. Special case.

Hypotheses

Ref	Expression
oprabval6g.1	|- (<.x, y>. = <.A, B>. -> R = S)
oprabval6g.2	|- F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)}

Assertion

Ref	Expression
oprabval6g	|- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (AFB) = S)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   z,R   x,S,y,z

Proof of Theorem oprabval6g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1473	. . . . . 6 |- S = S
2		pm4.2i 171	. . . . . . 7 |- ((x = A /\ y = B) -> (S = S <-> S = S))
3	2	copsex2g 2788	. . . . . 6 |- ((A e. G /\ B e. H) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) <-> S = S))
4	1, 3	mpbiri 194	. . . . 5 |- ((A e. G /\ B e. H) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
5	4	3adant3 798	. . . 4 |- ((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
6	5	adantr 389	. . 3 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
7		eqeq1 1478	. . . . . . . 8 |- (w = <.A, B>. -> (w = <.x, y>. <-> <.A, B>. = <.x, y>.))
8	7	anbi1d 616	. . . . . . 7 |- (w = <.A, B>. -> ((w = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = R)))
9		oprabval6g.1	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> R = S)
10	9	eqeq2d 1483	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> (z = R <-> z = S))
11	10	eqcoms 1475	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. = <.x, y>. -> (z = R <-> z = S))
12	11	pm5.32i 644	. . . . . . 7 |- ((<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S))
13	8, 12	syl6bb 535	. . . . . 6 |- (w = <.A, B>. -> ((w = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S)))
14	13	2exbidv 1279	. . . . 5 |- (w = <.A, B>. -> (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R) <-> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S)))
15		eqeq1 1478	. . . . . . 7 |- (z = S -> (z = S <-> S = S))
16	15	anbi2d 615	. . . . . 6 |- (z = S -> ((<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S)))
17	16	2exbidv 1279	. . . . 5 |- (z = S -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S) <-> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S)))
18		moeq 1916	. . . . . . 7 |- E*z z = R
19	18	mosubop 2800	. . . . . 6 |- E*zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)
20	19	a1i 8	. . . . 5 |- (w e. C -> E*zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))
21		oprabval6g.2	. . . . . 6 |- F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)}
22		dfoprab2 3982	. . . . . 6 |- {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R))}
23		eleq1 1531	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = <.x, y>. -> (w e. C <-> <.x, y>. e. C))
24	23	anbi1d 616	. . . . . . . . . . 11 |- (w = <.x, y>. -> ((w e. C /\ z = R) <-> (<.x, y>. e. C /\ z = R)))
25	24	pm5.32i 644	. . . . . . . . . 10 |- ((w = <.x, y>. /\ (w e. C /\ z = R)) <-> (w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)))
26		an12 484	. . . . . . . . . 10 |- ((w = <.x, y>. /\ (w e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
27	25, 26	bitr3 175	. . . . . . . . 9 |- ((w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
28	27	2exbii 1050	. . . . . . . 8 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> E.xE.y(w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
29		19.42vv 1308	. . . . . . . 8 |- (E.xE.y(w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)) <-> (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)))
30	28, 29	bitr 173	. . . . . . 7 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)))
31	30	opabbii 2666	. . . . . 6 |- {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R))} = {<.w, z>. | (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))}
32	21, 22, 31	3eqtr 1496	. . . . 5 |- F = {<.w, z>. | (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))}
33	14, 17, 20, 32	fvopab3ig 3769	. . . 4 |- ((<.A, B>. e. C /\ S e. J) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) -> (F` <.A, B>.) = S))
34	33	3ad2antl3 810	. . 3 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) -> (F` <.A, B>.) = S))
35	6, 34	mpd 26	. 2 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (F` <.A, B>.) = S)
36		df-opr 3956	. 2 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
37	35, 36	syl5eq 1516	1 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (AFB) = S)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E*wmo 1379  <.cop 2407  {copab 2661  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  {copab2 3955

This theorem is referenced by:  ipfval 8299

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957

Copyright terms: Public domain