Theorem oprabval5 4020

Description: The value of an operation class abstraction. Special case.

Hypotheses

Ref	Expression
oprabval5.1	|- S e. V
oprabval5.2	|- (x = A -> R = G)
oprabval5.3	|- (y = B -> G = S)
oprabval5.4	|- F = {<.<.x, y>., z>. | z = R}

Assertion

Ref	Expression
oprabval5	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (AFB) = S)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,G   z,R   y,S,z

Proof of Theorem oprabval5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabval5.1	. . 3 |- S e. V
2		oprabval5.2	. . 3 |- (x = A -> R = G)
3		oprabval5.3	. . 3 |- (y = B -> G = S)
4		oprabval5.4	. . . 4 |- F = {<.<.x, y>., z>. | z = R}
5		visset 1809	. . . . . . 7 |- x e. V
6		visset 1809	. . . . . . 7 |- y e. V
7	5, 6	pm3.2i 285	. . . . . 6 |- (x e. V /\ y e. V)
8	7	biantrur 724	. . . . 5 |- (z = R <-> ((x e. V /\ y e. V) /\ z = R))
9	8	oprabbii 3988	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | z = R} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. V /\ y e. V) /\ z = R)}
10	4, 9	eqtr 1492	. . 3 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. V /\ y e. V) /\ z = R)}
11	1, 2, 3, 10	oprabval2 4019	. 2 |- ((A e. V /\ B e. V) -> (AFB) = S)
12		elisset 1813	. 2 |- (A e. C -> A e. V)
13		elisset 1813	. 2 |- (B e. D -> B e. V)
14	11, 12, 13	syl2an 454	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (AFB) = S)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  (class class class)co 3954  {copab2 3955

This theorem is referenced by:  1st2val 4085  2nd2val 4086  seq1val 6257  shftfval 6287  seq0fval 6475  seqzfval 6477  dfseq0 6503

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957

Copyright terms: Public domain