Theorem opr1scn 7980

Description: Construct a continuous function G from a continuous operation O with the second argument held constant.

Hypotheses

Ref	Expression
oprscn.1	|- X = dom dom A
oprscn.3	|- Y = dom dom B
oprscn.5	|- A e. Met
oprscn.6	|- B e. Met
oprscn.7	|- C e. Met
oprscn.8	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)A(1st` y)), ((2nd` x)B(2nd` y))}, RR, < ))}
oprscn.j	|- J = (Open` A)
oprscn.k	|- K = (Open` C)
oprscn.l	|- L = (Open` D)
oprscn.9	|- O e. (L Cn K)
opr1scn.10	|- G = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wOP))}

Assertion

Ref	Expression
opr1scn	|- (P e. Y -> G e. (J Cn K))

Distinct variable groups:   x,w,y,z,A   w,B,x,y,z   w,C   w,J   w,v,O   x,v,y,z,P,w   v,X,w,x,y,z   v,Y,w,x,y,z

Proof of Theorem opr1scn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprscn.5	. . 3 |- A e. Met
2		ssid 2080	. . 3 |- A (_ A
3		oprscn.1	. . . 4 |- X = dom dom A
4		oprscn.j	. . . 4 |- J = (Open` A)
5	3, 4, 4	metidcn 7900	. . 3 |- ((A e. Met /\ A e. Met /\ A (_ A) -> (I |` X) e. (J Cn J))
6	1, 1, 2, 5	mp3an 916	. 2 |- (I |` X) e. (J Cn J)
7		oprscn.3	. . 3 |- Y = dom dom B
8		oprscn.6	. . 3 |- B e. Met
9		oprscn.7	. . 3 |- C e. Met
10		eqid 1475	. . 3 |- (Open` B) = (Open` B)
11		oprscn.l	. . 3 |- L = (Open` D)
12		oprscn.k	. . 3 |- K = (Open` C)
13		oprscn.8	. . 3 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)A(1st` y)), ((2nd` x)B(2nd` y))}, RR, < ))}
14		oprscn.9	. . 3 |- O e. (L Cn K)
15		opr1scn.10	. . . 4 |- G = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wOP))}
16		fvresi 3843	. . . . . . . 8 |- (w e. X -> ((I |` X)` w) = w)
17	16	opreq1d 3975	. . . . . . 7 |- (w e. X -> (((I |` X)` w)OP) = (wOP))
18	17	eqeq2d 1486	. . . . . 6 |- (w e. X -> (v = (((I |` X)` w)OP) <-> v = (wOP)))
19	18	pm5.32i 645	. . . . 5 |- ((w e. X /\ v = (((I |` X)` w)OP)) <-> (w e. X /\ v = (wOP)))
20	19	opabbii 2671	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (((I |` X)` w)OP))} = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wOP))}
21	15, 20	eqtr4 1498	. . 3 |- G = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (((I |` X)` w)OP))}
22	3, 3, 7, 1, 1, 8, 9, 4, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 21	opr1cn 7978	. 2 |- (((I |` X) e. (J Cn J) /\ P e. Y) -> G e. (J Cn K))
23	6, 22	mpan 695	1 |- (P e. Y -> G e. (J Cn K))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  {cpr 2410  {copab 2666  Icid 2831   X. cxp 3168  dom cdm 3170   |` cres 3172  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  {copab2 3964  1stc1st 4077  2ndc2nd 4078  supcsup 4573  RRcr 5233   < clt 5486   Cn ccn 7752  Metcme 7789  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  ipasslem6 8495

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-2 5970  df-top 7592  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796

Copyright terms: Public domain