Theorem opr1cn 7975

Description: Construct a continuous function H built from a function F and a constant applied to an operation O.

Hypotheses

Ref	Expression
oprcn.1	|- X = dom dom A
oprcn.2	|- Y = dom dom B
oprcn.4	|- Z = dom dom C
oprcn.6	|- A e. Met
oprcn.7	|- B e. Met
oprcn.8	|- C e. Met
oprcn.9	|- J e. Met
oprcn.a	|- K = (Open` A)
oprcn.b	|- L = (Open` B)
oprcn.c	|- M = (Open` C)
oprcn.d	|- N = (Open` D)
oprcn.j	|- Q = (Open` J)
oprcn.10	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (Y X. Z) /\ y e. (Y X. Z)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
oprcn.11	|- O e. (N Cn Q)
opr1cn.12	|- H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)OP))}

Assertion

Ref	Expression
opr1cn	|- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> H e. (K Cn Q))

Distinct variable groups:   w,A   x,w,y,z,B   w,C,x,y,z   w,v,x,y,z,F   w,J   w,K   w,L   w,M   v,O,w   v,P,w,x,y,z   v,X,w,x,y,z   v,Y,w,x,y,z   v,Z,w,x,y,z

Proof of Theorem opr1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvconst2g 3850	. . . . . . . 8 |- ((P e. Z /\ w e. X) -> ((X X. {P})` w) = P)
2	1	opreq2d 3982	. . . . . . 7 |- ((P e. Z /\ w e. X) -> ((F` w)O((X X. {P})` w)) = ((F` w)OP))
3	2	eqeq2d 1489	. . . . . 6 |- ((P e. Z /\ w e. X) -> (v = ((F` w)O((X X. {P})` w)) <-> v = ((F` w)OP)))
4	3	pm5.32da 651	. . . . 5 |- (P e. Z -> ((w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w))) <-> (w e. X /\ v = ((F` w)OP))))
5	4	opabbidv 2675	. . . 4 |- (P e. Z -> {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)OP))})
6		opr1cn.12	. . . 4 |- H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)OP))}
7	5, 6	syl6reqr 1529	. . 3 |- (P e. Z -> H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))})
8	7	adantl 390	. 2 |- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))})
9		oprcn.1	. . . 4 |- X = dom dom A
10		oprcn.2	. . . 4 |- Y = dom dom B
11		oprcn.4	. . . 4 |- Z = dom dom C
12		oprcn.6	. . . 4 |- A e. Met
13		oprcn.7	. . . 4 |- B e. Met
14		oprcn.8	. . . 4 |- C e. Met
15		oprcn.9	. . . 4 |- J e. Met
16		oprcn.a	. . . 4 |- K = (Open` A)
17		oprcn.b	. . . 4 |- L = (Open` B)
18		oprcn.c	. . . 4 |- M = (Open` C)
19		oprcn.d	. . . 4 |- N = (Open` D)
20		oprcn.j	. . . 4 |- Q = (Open` J)
21		oprcn.10	. . . 4 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (Y X. Z) /\ y e. (Y X. Z)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
22		oprcn.11	. . . 4 |- O e. (N Cn Q)
23		eqid 1478	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))}
24	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	oprcn 7974	. . 3 |- ((F e. (K Cn L) /\ (X X. {P}) e. (K Cn M)) -> {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} e. (K Cn Q))
25		fconstg 3665	. . . 4 |- (P e. Z -> (X X. {P}):X-->{P})
26	9, 11, 16, 18	metcnconst 7882	. . . . 5 |- (((A e. Met /\ C e. Met) /\ (P e. Z /\ (X X. {P}):X-->{P})) -> (X X. {P}) e. (K Cn M))
27	12, 14, 26	mpanl12 710	. . . 4 |- ((P e. Z /\ (X X. {P}):X-->{P}) -> (X X. {P}) e. (K Cn M))
28	25, 27	mpdan 706	. . 3 |- (P e. Z -> (X X. {P}) e. (K Cn M))
29	24, 28	sylan2 453	. 2 |- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} e. (K Cn Q))
30	8, 29	eqeltrd 1551	1 |- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> H e. (K Cn Q))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {csn 2413  {cpr 2414  {copab 2671   X. cxp 3174  dom cdm 3176  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  {copab2 3970  1stc1st 4083  2ndc2nd 4084  supcsup 4582  RRcr 5245   < clt 5498   Cn ccn 7749  Metcme 7786  Opencopn 7789

This theorem is referenced by:  opr1scn 7977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-2 5972  df-top 7594  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793

Copyright terms: Public domain