Theorem opeldm 3320

Description: Membership of first of an ordered pair in a domain.

Hypothesis

Ref	Expression
opeldm.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
opeldm	|- (<.A, B>. e. C -> A e. dom C)

Proof of Theorem opeldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 2492	. . . . 5 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
2	1	eleq1d 1543	. . . 4 |- (y = B -> (<.A, y>. e. C <-> <.A, B>. e. C))
3	2	cla4egv 1866	. . 3 |- (B e. V -> (<.A, B>. e. C -> E.y<.A, y>. e. C))
4		opeldm.1	. . . 4 |- A e. V
5	4	eldm2 3314	. . 3 |- (A e. dom C <-> E.y<.A, y>. e. C)
6	3, 5	syl6ibr 213	. 2 |- (B e. V -> (<.A, B>. e. C -> A e. dom C))
7		opprc2 2503	. . . 4 |- (-. B e. V -> <.A, B>. = <.A, A>.)
8	7	eleq1d 1543	. . 3 |- (-. B e. V -> (<.A, B>. e. C <-> <.A, A>. e. C))
9		opeq2 2492	. . . . . 6 |- (y = A -> <.A, y>. = <.A, A>.)
10	9	eleq1d 1543	. . . . 5 |- (y = A -> (<.A, y>. e. C <-> <.A, A>. e. C))
11	4, 10	cla4ev 1872	. . . 4 |- (<.A, A>. e. C -> E.y<.A, y>. e. C)
12	11, 5	sylibr 200	. . 3 |- (<.A, A>. e. C -> A e. dom C)
13	8, 12	syl6bi 214	. 2 |- (-. B e. V -> (<.A, B>. e. C -> A e. dom C))
14	6, 13	pm2.61i 126	1 |- (<.A, B>. e. C -> A e. dom C)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814  <.cop 2415  dom cdm 3176

This theorem is referenced by:  breldm 3321  elreldm 3344  relssres 3398  imadmrn 3420  funssres 3558  funun 3560  fnrnfv 3765  eqfnfv 3803  tz7.48-1 3962  ecopoprdm 4315

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-nul 2284  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-dm 3194

Copyright terms: Public domain