Theorem opelcnvg 3285

Description: Ordered-pair membership in converse.

Assertion

Ref	Expression
opelcnvg	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. `'R <-> <.B, A>. e. R))

Proof of Theorem opelcnvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2613	. . . 4 |- (x = A -> (yRx <-> yRA))
2		breq1 2612	. . . 4 |- (y = B -> (yRA <-> BRA))
3	1, 2	opelopabg 2806	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. {<.x, y>. | yRx} <-> BRA))
4		df-cnv 3176	. . . 4 |- `'R = {<.x, y>. | yRx}
5	4	eleq2i 1530	. . 3 |- (<.A, B>. e. `'R <-> <.A, B>. e. {<.x, y>. | yRx})
6	3, 5	syl5bb 530	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. `'R <-> BRA))
7		df-br 2610	. 2 |- (BRA <-> <.B, A>. e. R)
8	6, 7	syl6bb 534	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. `'R <-> <.B, A>. e. R))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955  <.cop 2401   class class class wbr 2609  {copab 2656  `'ccnv 3159

This theorem is referenced by:  brcnvg 3286  opelcnv 3287  fvimacnv 3790  xrlenltt 5473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-cnv 3176

Copyright terms: Public domain