Theorem opabn0 2824

Description: Non-empty ordered pair class abstraction.

Assertion

Ref	Expression
opabn0	|- ({<.x, y>. | ph} =/= (/) <-> E.xE.yph)

Proof of Theorem opabn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0 2288	. 2 |- ({<.x, y>. | ph} =/= (/) <-> E.z z e. {<.x, y>. | ph})
2		elopab 2811	. . 3 |- (z e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph))
3	2	exbii 1051	. 2 |- (E.z z e. {<.x, y>. | ph} <-> E.zE.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph))
4		exrot3 1099	. . 3 |- (E.zE.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yE.z(z = <.x, y>. /\ ph))
5		19.41v 1305	. . . . 5 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ ph) <-> (E.z z = <.x, y>. /\ ph))
6		opex 2782	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. V
7	6	isseti 1815	. . . . 5 |- E.z z = <.x, y>.
8	5, 7	mpbiran 728	. . . 4 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ ph) <-> ph)
9	8	2exbii 1052	. . 3 |- (E.xE.yE.z(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yph)
10	4, 9	bitr 173	. 2 |- (E.zE.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.xE.yph)
11	1, 3, 10	3bitr 177	1 |- ({<.x, y>. | ph} =/= (/) <-> E.xE.yph)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  (/)c0 2280  <.cop 2411  {copab 2666

This theorem is referenced by:  bcthlem14 8012

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667

Copyright terms: Public domain