Theorem opabid2 3267

Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction.

Assertion

Ref	Expression
opabid2	|- (Rel A -> {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem opabid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . 4 |- z e. V
2		visset 1813	. . . 4 |- w e. V
3		opeq1 2487	. . . . 5 |- (x = z -> <.x, y>. = <.z, y>.)
4	3	eleq1d 1540	. . . 4 |- (x = z -> (<.x, y>. e. A <-> <.z, y>. e. A))
5		opeq2 2488	. . . . 5 |- (y = w -> <.z, y>. = <.z, w>.)
6	5	eleq1d 1540	. . . 4 |- (y = w -> (<.z, y>. e. A <-> <.z, w>. e. A))
7	1, 2, 4, 6	opelopab 2820	. . 3 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)
8	7	gen2 983	. 2 |- A.zA.w(<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)
9		relopab 3266	. . 3 |- Rel {<.x, y>. | <.x, y>. e. A}
10		eqrel 3250	. . 3 |- ((Rel {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} /\ Rel A) -> ({<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A <-> A.zA.w(<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)))
11	9, 10	mpan 695	. 2 |- (Rel A -> ({<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A <-> A.zA.w(<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)))
12	8, 11	mpbiri 194	1 |- (Rel A -> {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  {copab 2666  Rel wrel 3175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185

Copyright terms: Public domain