Theorem onun 3116

Description: The union of two ordinal numbers is an ordinal number.

Hypotheses

Ref	Expression
on.1	|- A e. On
on.2	|- B e. On

Assertion

Ref	Expression
onun	|- (A u. B) e. On

Proof of Theorem onun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.2	. . . 4 |- B e. On
2	1	onord 3101	. . 3 |- Ord B
3		on.1	. . . 4 |- A e. On
4	3	onord 3101	. . 3 |- Ord A
5		ordtri2or 3083	. . 3 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B e. A \/ A (_ B))
6	2, 4, 5	mp2an 699	. 2 |- (B e. A \/ A (_ B)
7	3	onelun 3110	. . . 4 |- (B e. A -> (A u. B) = A)
8	7, 3	syl6eqel 1559	. . 3 |- (B e. A -> (A u. B) e. On)
9		ssequn1 2203	. . . 4 |- (A (_ B <-> (A u. B) = B)
10		eleq1 1537	. . . . 5 |- ((A u. B) = B -> ((A u. B) e. On <-> B e. On))
11	1, 10	mpbiri 194	. . . 4 |- ((A u. B) = B -> (A u. B) e. On)
12	9, 11	sylbi 199	. . 3 |- (A (_ B -> (A u. B) e. On)
13	8, 12	jaoi 341	. 2 |- ((B e. A \/ A (_ B) -> (A u. B) e. On)
14	6, 13	ax-mp 7	1 |- (A u. B) e. On

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960   u. cun 2048   (_ wss 2050  Ord word 2953  Oncon0 2954

This theorem is referenced by:  rankun 4701  rankelpr 4718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958

Copyright terms: Public domain